Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido
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Um grupo de arqueólogos propõe a teoria que o tamanho médio de crânios de seres humanos aumenta ao longo do tempo. Medições precisas garantem que atualmente tal quantidade comporta-se conforme uma distribuição normal, de média µ = 140mm e desvio padrão de 26mm. Uma amostra de 30 crânios, datadas de 6.000 anos atrás, foi observada, com um tamanho médio de 131,37mm. Desejamos aferir a validade da teoria proposta, ou seja, verificar se no passado o tamanho médio dos crânios era de fato menor. Para isso, queremos testar contra, admitindo que o desvio padrão não é afetado pela passagem do tempo.
(a) Diga, nesse contexto, o que significam os erros tipo I e II.
(b) Teste as hipóteses contra , ao nível de significância de 5%.
Passo 1
(a) O erro tipo I é sempre o erro que se comete ao rejeitar a hipótese nula, sendo ela verdadeira. Nesse caso, significa rejeitar que o tamanho médio dos crânios hoje seja maior ou igual do que antigamente (e na verdade, o tamanho médio dos crânios ser maior ou igual do que antigamente) . Da mesma forma, o erro do tipo II é sempre o erro que se comete ao aceitar a hipótese nula, sendo ela falsa. Nesse caso, seria aceitar que o tamanho médio dos crânios hoje é maior ou igual do que antigamente (e isso ser falso).
Passo 2
(b) Para testar a hipótese nula, repara que a gente quer um teste unilateral! Isso é porque a gente quer testar contra. Vamos então construir um unilateral em torno do parâmetro da hipótese nula (isso é, e ver se nossa média amostral cai nesse intervalo. Se não cair, rejeitamos
Passo 3
Vamos construir esse intervalo então!
Repara que nosso vai ter que ser .
E a gente tá usando porque é unilateral! Só se fosse bilateral que a gente usaria
Agora é só substituir: .
Passo 4
Como temos , nossa média amostral não caiu no intervalo! Sendo assim, rejeitamos a hipótese nula
Resposta
(b) Rejeitamos a hipótese nula