PF de Probest da UFRJ - 2018.2
Probest - UFRJ
O atual tempo de travessia de barcas entre Rio de Janeiro e Niterói é considerado uma variável aleatória com distribuição Normal de média 15 minutos e desvio padrão de 3 minutos. Uma nova barca da empresa concorrente MSC Barcas vai entrar em operação e os responsáveis garantem que será mais rápida que as anteriores. Teste a hipótese de que o tempo médio de travessia é igual ou superior a 15 minutos versus a alternativa de que ele é inferior a 15 minutos.
(a) Para uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova barca, obteve-se um tempo médio de 14,5 minutos. Obtenha a região crítica (ou região de rejeição) do teste considerando um nível de 5%. Tome sua decisão.
(b) Obtenha o p-valor do teste. O resultado está coerente com a conclusão do item (a)? Justifique.
(c) Calcule a probabilidade do erro tipo II, se a nova barca gasta, em média, 2 minutos a menos que as anteriores para completar a travessia.
Ver solução completaDeseja-se estimar simultaneamente:
i) A média, em, da concentração da substância em determinado produto químico; e
ii) A proporção de unidades desse produto nas quais a concentração de é superior a
Para isso foi coletada uma amostra piloto composta por 10 unidades amostrais desse produto, para as quais a concentração da substância , em , foi medida. Eis os resultados:
Para simplificar os cálculos, informam-se
Pergunta-se:
(a) Quais são as estimativas da média e do desvio padrão da concentração de, bem como da proporção , com base na amostra piloto?
(b) Qual o tamanho mínimo de uma nova amostra com base na qual se possa estimar a proporção de forma que o erro absoluto seja inferior a com de probabilidade?
(c) Se for utilizada essa mesma amostra dimensionada no item (b), qual a probabilidade de que na estimação de seja cometido um erro máximo de ?
Admita que o tamanho da amostra calculado no item (b) é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.
Ver solução completaA distribuição da temperatura (em graus Celsius) de solidificação de uma substância pode ser modelada por uma Normal. Não se tem conhecimento dos parâmetros de, mas sabe-se que e .
(a) Calcule os parâmetros e da distribuição de .
(b) Qual a probabilidade de pertencer ao intervalo?
(c) Se 40 medições da temperatura de solidificação dessa substância forem realizadas, qual a probabilidade da variável pertencer ao intervalo em pelo menos 25 das 40 repetições?
Ver solução completaA partir de uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre o intervalo , defina duas variáveis aleatórias e da seguinte maneira:
(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta do par .
(b) As variáveis aleatórias e são independentes? Justifique.
(c) Calcule .
(d) Calcule e .
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