A distribuição da temperatura (em graus Celsius) de solidificação de uma substância pode ser modelada por uma Normal. Não se tem conhecimento dos parâmetros de, mas sabe-se que e .
(a) Calcule os parâmetros e da distribuição de .
(b) Qual a probabilidade de pertencer ao intervalo?
(c) Se 40 medições da temperatura de solidificação dessa substância forem realizadas, qual a probabilidade da variável pertencer ao intervalo em pelo menos 25 das 40 repetições?
Passo 1
a)
Vamos fazer um sisteminha de equações usando as duas probabilidades dadas. Primeiramente, colocamos as duas no formato que olhamos na tabela:
Pois precisamos consertar o sinal de .
Podemos agora igualar os nossos argumentos a essas probabilidades, não esquecendo de padroniza-los!
Opa, mas não conseguimos achar um valor de probabilidade menor que na tabela, então como resolve esse primeiro caso mesmo? Multiplicamos tudo de um lado por menos e usamos a probabilidade complementar, devido a simetria da Normal!
Agora podemos procurar os ’s correspondentes a essas probabilidades na tabela:
E igualamos isso aí ao que tá dentro dos nossos :
Resolvendo esse sistema temos finalmente que:
Passo 2
b)
Queremos:
Padronizando:
Procurando esses caras na tabela:
Passo 3
c)
Precisamos criar outra v.a. agora para simbolizar o número de repetições dentro do intervalo:
E essa v.a. representa um número de sucessos entre consecutivas repetições, ou seja, segue uma Binomial:
A probabilidade de sucesso é a probabilidade de estar no intervalo, como calculamos, . E as repetições , como pedido no item.
Nós queremos:
Caramba, mas vai dar muito trabalho calcular isso! Como temos muitas repetições (mais de 30) e que é maior ou igual a , estamos num caso perfeito de aproximar a Binomial pela Normal.
Corrigindo o erro de continuidade:
E os parâmetros vão ser:
Padronizando a probabilidade:
Resposta
a)
b)
c)