Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

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Enunciado

A distribuição X da temperatura (em graus Celsius) de solidificação de uma substância pode ser modelada por uma Normal. Não se tem conhecimento dos parâmetros de   X , mas sabe-se que P ( X < 50 ) = 0,0227 e P ( X > 80 ) = 0,1586 .

(a) Calcule os parâmetros μ e σ da distribuição de X .

(b) Qual a probabilidade de   X pertencer ao intervalo   I   =   [ 55 ;   80 ] ?

(c) Se 40 medições da temperatura de solidificação dessa substância forem realizadas, qual a probabilidade da variável X   pertencer ao intervalo I   em pelo menos 25 das 40 repetições?

Passo 1

a)

Vamos fazer um sisteminha de equações usando as duas probabilidades dadas. Primeiramente, colocamos as duas no formato que olhamos na tabela:

P X < 50 = 0,0227

P X > 80 = 0,1586 → 1 - P X > 80 = 1 - 0,1586 → P X < 80 = 0,8414

Pois precisamos consertar o sinal de > .

Podemos agora igualar os nossos argumentos ϕ a essas probabilidades, não esquecendo de padroniza-los!

ϕ 50 - μ σ = 0,0227

ϕ 80 - μ σ = 0,8414

Opa, mas não conseguimos achar um valor de probabilidade menor que 0,5 na tabela, então como resolve esse primeiro caso mesmo? Multiplicamos tudo de um lado por menos 1 e usamos a probabilidade complementar, devido a simetria da Normal!

ϕ - 50 + μ σ = 1 - 0,0227 = 0,9773

Agora podemos procurar os z ’s correspondentes a essas probabilidades na tabela:

z 0,9773 ≈ 2

z 0,8414 ≈ 1

E igualamos isso aí ao que tá dentro dos nossos ϕ :

- 50 + μ σ = 2

80 - μ σ = 1

Resolvendo esse sistema temos finalmente que:

μ = 70

σ = 10

Passo 2

b)

Queremos:

P ( 55 < X < 80 )

Padronizando:

P 55 - 70 10 < Z < 80 - 70 10 = P - 1,5 < Z < 1

= P Z < 1 - P ( Z < - 1,5 )

= P Z < 1 - P Z > 1,5

= P Z < 1 - 1 - P Z < 1,5

Procurando esses caras na tabela:

= 0,8413 - 1 - 0,9332 = 0,77 4 5

Passo 3

c)

Precisamos criar outra v.a. agora para simbolizar o número de repetições dentro do intervalo:

Y : n º   d e   r e p e t i ç õ e s   c o m   t e m p o   n o   i n t e r v a l o   I

E essa v.a. representa um número de sucessos entre consecutivas repetições, ou seja, segue uma Binomial:

Y ~ B i n o m i a l ( p , n )

A probabilidade de sucesso p é a probabilidade de X estar no intervalo, como calculamos, p = 0,77 4 5 . E as repetições n = 40 , como pedido no item.

Nós queremos:

P ( Y ≥ 25 )

Caramba, mas vai dar muito trabalho calcular isso! Como temos muitas repetições (mais de 30) e n p 1 - p = 7,051 que é maior ou igual a 3 , estamos num caso perfeito de aproximar a Binomial pela Normal.

Corrigindo o erro de continuidade:

P Y ≥ 25 = P ( Y n o r m a l > 24,5 )

E os parâmetros vão ser:

Y ~ N o r m a l n p ; n p 1 - p → Y ~ N o r m a l 40 × 0,77 4 5 ; 40 × 0,77 4 5 1 - 0,77 4 5

Y ~ N o r m a l 30 , 9 8 ; 2,6 4 2

Padronizando a probabilidade:

P Z > 24,5 - 30 , 98 2,6 4 = P Z > - 2 , 45

= P Z < 2 , 45

= 0,99 29

Resposta

a)

μ = 70             σ = 10

b)

0,7715

c)

0,99 29

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