O atual tempo de travessia de barcas entre Rio de Janeiro e Niterói é considerado uma variável aleatória com distribuição Normal de média 15 minutos e desvio padrão de 3 minutos. Uma nova barca da empresa concorrente MSC Barcas vai entrar em operação e os responsáveis garantem que será mais rápida que as anteriores. Teste a hipótese de que o tempo médio de travessia é igual ou superior a 15 minutos versus a alternativa de que ele é inferior a 15 minutos.
(a) Para uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova barca, obteve-se um tempo médio de 14,5 minutos. Obtenha a região crítica (ou região de rejeição) do teste considerando um nível de 5%. Tome sua decisão.
(b) Obtenha o p-valor do teste. O resultado está coerente com a conclusão do item (a)? Justifique.
(c) Calcule a probabilidade do erro tipo II, se a nova barca gasta, em média, 2 minutos a menos que as anteriores para completar a travessia.
Passo 1
a)
Montando nossas hipóteses:
Estamos num teste unilateral inferior! Calculando a estatística de teste:
E nosso ponto crítico pra esse tipo de teste é dado por:
Como ...
Então tudo que for menor que é região crítica, pois estamos no teste unilateral inferior. Como nossa estatística de teste é MAIOR que isso, nós caímos na região de aceitação! Não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, pode ser que a média seja igual ou maior a 15 minutos.
Passo 2
b)
O P-valor no teste unilateral inferior é dado por:
Como o p-valor é beeem maior que o nível de significância de , nós não rejeitamos a hipótese nula! Novamente.
Passo 3
c)
Gastando 2 minutos a menos, nossa média seria de 13 minutos. Então a probabilidade do erro II é dada por:
Temos que descobrir para que ponto crítico “não-padronizado” nós rejeitamos a hipótese nula. Para isso, temos que “desfazer” a padronização no ponto crítico encontrado:
Então agora podemos escrever a probabilidade de erro II como:
Padronizando...
Resposta
a)
Não rejeita-se a hipótese nula, ou seja, a média pode ser maior ou igual a 15 minutos.
b)
. Como , não rejeitamos a hipótese nula.
c)