A partir de uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre o intervalo , defina duas variáveis aleatórias e da seguinte maneira:
(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta do par .
(b) As variáveis aleatórias e são independentes? Justifique.
(c) Calcule .
(d) Calcule e .
Passo 1
a)
Sabemos que:
Repara comigo, por exemplo, que nós também sabemos a probabilidade de valer , certo? Se vale 1 quando ...
E para calcular a probabilidade de , basta usarmos sua função de densidade que é dada por . Ou seja, precisamos simplesmente integrar o número para calcular nossas probabilidades!
Agora para as conjuntas...
Quando que e ao mesmo tempo? Quando for menor que também! Pois se for maior, o nosso zeraria. Usando esse mesmo raciocínio para as outras conjuntas...
E nunca pode acontecer, pois se necessariamente também!
Então:
Passo 2
b)
Para verificar a independência, temos que garantir que isso é sempre verdade:
E se formos testando para todos os casos, vemos que quando e , por exemplo, isso não é verdade, pois:
Então as v.a.’s não são independentes.
Passo 3
c)
Calculando as esperanças de e , que são v.a.’s de Bernoulli, e portanto tem sua esperança igual a probabilidade de assumirem valor :
E a esperança conjunta:
Agora podemos calcular a covariância:
Passo 4
d)
Usando a fórmula da condicional:
Resposta
a)
b)
Não são independentes.
c)
d)