Exercícios Resolvidos de Impulso e Quantidade de Movimento Angular

Enunciado

USP, Mecânica, P3-2017, Questão 01

01) Um carretel de massa , de centro e raios (externo) e (interno) está articulado a uma barra de massa e comprimento , conforme indicado na figura. Mediante a aplicação de uma força (constante) a um cabo inextensível e de massa desprezível enrolado ao carretel, faz-se com que este role sem deslizar sobre um plano horizontal, arrastando consigo a barra . A polia de centro tem massa desprezível e o coeficiente de atrito entre as superfícies da barra e do plano horizontal é . é o ponto de contato do carretel com o plano horizontal. O momento de inércia do carretel em relação ao eixo é dado: . Pede-se:

a) desenhar os diagramas de corpo livre do carretel e da barra;

b) determinar o momento de inércia do carretel em relação ao eixo ;

c) expressar as acelerações do baricentro da barra e do baricentro do carretel em função da aceleração angular do carretel;

d) escrever as equações dos teoremas do movimento do baricentro (TMB) e do momento da quantidade de movimento (TMQM ou TQMA, se se utilizar a terminologia ‘Teorema da Quantidade de Movimento Angular) para o carretel e para a barra.

Passo 1

Eaí gente bonita, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um carretel, com uma barra articulada, em uma de suas extremidades, no seu centro. A esse carretel passa-se um fio em sua região interna e traciona-se esse fio com uma força , gerando o movimento do conjunto.

a) Pra começar, devemos desenhar os diagramas de corpo livre do carretel e da barra.

O bizu pra desenhar DCL é sempre começar identificando as forças que agem no corpo.

Iniciando pelo nosso carretel, temos a força do fio, o Peso agindo em , as reações em e em da articulação em . No ponto de contato , como é falado que o disco rola sem deslizar também há uma força de atrito, além da normal de contato. Daí, podemos desenhar:

Muito bomm!

Pensando na barra , temos também as reações da articulação em (e aqui pelo equilíbrio do nó B, essas reações são iguais a e mas com sentido oposto ao desenhado no DCL do disco).

Além disso, também atua o Peso da barra no seu centro , e as reações de contato da barra com a superfície. Logo:

Bouaaa!

Passo 2

b) Devemos determinar o momento de inércia do carretel em relação ao eixo .

Beleza! O enunciado até nos falou o momento de inércia em relação ao centro do carretel, . Mas, como fazemos pra calcular o momento de inércia em relação a outro ponto?

Hahaha! Temos que usar o Teorema dos Eixos paralelos pessoal. Basicamente, ele diz que:

Como a distância entre e é justamente o raio , e , vem:

Prontinho 😊

Passo 3

c) Aqui devemos determinar a aceleração do baricentro da barra, ou seja, do ponto e do baricentro do carretel, ou seja, do ponto , em função da aceleração angular do carretel, , Sacaram?

Vamos começar pelo carretel! Beleza, sabemos a velocidade angular dele vale , mas o que podemos usar pra encontrar a velocidade do ponto ?

Nesses problemas de carretel (ou disco) a gente sempre ter que ficar ligado no rolamento que tá acontecendo.

Se vier uma informação tipo “o carretel rola sem deslizar” , que é o caso dessa questão, já podemos afirmar que a velocidade do ponto de contato é nula e que, ainda mais, esse ponto é um Centro instantâneo de rotação (CIR).

Portanto:

Como ele também é um CIR no instante considerado, é como se todos os pontos do carretel (inclusive ) estivessem rotacionando em volta dele. Daí:

Daí, derivando em relação ao tempo, temos:

Show!! Pensando na barra, temos um vínculo geométrico interessante.

Como a barra está articulada ao ponto , e o único movimento que ela realiza é o de translação (devido justamente à translação do carretel), ela deve transladar com a mesma aceleração de translação do carretel, ou seja, .