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Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

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Exercício 61234578910

Enunciado

Passo 1

Para a nossa integral, vamos precisar das substituições

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

E

d x = 2 d z 1 + z 2  

Substituindo na integral

∫ d x 3 + cos ⁡ x = ∫ 1 3 + 1 - z 2 1 + z 2 2 d z 1 + z 2  

= ∫ 2 d z 3 ( 1 + z 2 ) + ( 1 - z 2 )

= 2 ∫ d z 3 + 3 z 2 + 1 - z 2

= 2 ∫ d z 4 + 2 z 2

= 2 ∫ d z 2 2 + z 2

= ∫ d z 2 + z 2

Passo 2

Ficou bem mais simples de resolver essa integral agora né? Vamos usar o método da substituição. Para usar esse método, vamos rearranjar nossa integral só mais um pouquinho.

∫ d x 3 + cos ⁡ x = ∫ d z 2 + z 2

= ∫ d z 2 z 2 2 + 1

= 1 2 ∫ d z z 2 2 + 1

Agora fazendo a substituição

u = z 2

d u = 1 2 d z

E aplicando na integral

1 2 ∫ d z z 2 2 + 1 = 1 2 ∫ 2 d u u 2 + 1

Sabemos que

∫ d u u 2 + 1 = arctan ⁡ u + C

Então ficamos com

∫ d x 3 + cos ⁡ x =   2 2 arctan ⁡ u + C

Desfazendo a substituição teremos

∫ d x 3 + cos ⁡ x =   2 2 arctan ⁡ z 2 + C

Passo 3

Maaaas, nossa variável não é z e sim x . Para desfazer aquela substituição inicial, precisamos lembrar que

z = tan ⁡ x 2

Então

∫ d x 3 + cos ⁡ x =   2 2 arctan ⁡ 1 2 tan ⁡ x 2 + C

∫ d x 3 + cos ⁡ x =   2 2 arctan ⁡ 2 2 tan ⁡ x 2 + C

Pronto! Esse método ajuda bastante!

Resposta

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