Calcule a integral:
Passo 1
Vamos substituir o seno e o cosseno pelas formas da teoria:
Multiplicando aquele sozinho por , temos:
Repara, substituindo e tirando o como , já que:
Teremos,
Passo 2
Aplicamos Bhaskara no termo de baixo para abrí-lo como dois polinômios do segundo grau. Pra isso, vamos fazer o seguinte, imagina que quero igualar o denominador à :
Calma que isso é só pra ajudar a gente a achar a raiz! Se fizermos a substituição:
Vamos ter:
Por Bhaskara:
E logo:
E voltando para , temos:
A integral fica então:
Agora temos que fazer frações parciais:
Tirando o denominador e aplicando a distributiva:
Nessa situação, temos que resolver o seguinte sistema:
Pra simplificar nossas contas, vamos chamar
O sistema de equações fica:
Multiplicando a primeira linha por e a terceira por , temos:
Somando as duas:
Se , conclui-se da primeira linha do sistema de equações que . Multiplicando a segunda linha por e a quarta por , temos:
Somando, temos:
E como:
Então:
Agora pra achar a última letra, multiplicando a segunda linha por e a quarta por , temos:
E somando:
A integral vira portanto:
Passo 3
Agora temos que reescrever a integral. Como temos um termo ao quadrado no denominador, talvez seja interessante escrever algo nesse modelo:
Do resultado anterior:
A primeira integral pode ser reescrita como:
O resultado da integral vai ser então:
Já para a segunda integral, podemos reescrever:
E o resultado fica:
Passo 4
Agora pra fechar é só voltar a variável original, se achamos:
Como a substituição era , vamos ter: