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Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

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Exercício 71234568910

Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 18

Calcule a integral abaixo de duas formas e mostre que elas são equivalentes

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez uma questão para mostrarmos que independente da técnica de integração que usamos o resultado deve ser o mesmo.

Queremos integrar

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x

Vamos fazer da seguinte maneira. Vamos resolver fazendo u   =   t g ( x ) e depois resolver fazendo u = s e c ( x )

Beleza?Então vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar fazendo

u   =   t g ( x )   ⇒   d u   = s e c 2 ( x ) d x

Usando a propriedade que

t g 2 ( x ) + 1   =   s e c 2 ( x )

temos

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x = ∫ t g ( x ) ( t g 2 ( x ) + 1 ) s e c 2 ( x ) d x

= ∫ u 3 + u d u

Mas essas integrais são fundamentais. Temos:

∫ u 3 + u d u   =   1 4 u 4 + 1 2 u 2

Passo 3

No passo anterior chegamos a conclusão que

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x = 1 4 u 4 + 1 2 u 2   + C

com u   =   t g ( x )

substituindo temos

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x = 1 4 t g 4 ( x )   +   1 2 t g 2 ( x )   + C

Vamos Mostrar que

s e c 4 ( x ) 4   -   1   = 1 4 t g 4 ( x )   +   1 2 t g 2 ( x )  

Temos que

s e c 4 ( x ) 4   -   1 / 4   =   1 4 ( s e c 2 ( x ) + 1 ) ( s e c 2 ( x ) - 1 )

mas

t g 2 ( x ) + 1   =   s e c 2 ( x )

Então:

1 4 ( s e c 2 ( x ) + 1 ) ( s e c 2 ( x ) - 1 ) = 1 4 ( t g 2 + 2 ) ( t g 2 ( x ) )

= 1 4 t g 4 ( x )   +   1 2 t g 2 ( x )

Agora vamos calcular pelo segundo método

Passo 4

Fazendo u = s e c ( x ) temos:

d u   =   t g ( x ) s e c ( x ) d x

Então:

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x = ∫ u 3 d u

Resolvendo a integral temos:

∫ u 3 d u = 1 4 u 4 + C

Retornando para a variável original x

1 4 u 4 + C = 1 4 s e c 4 ( x )   + C

Logo:

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x = 1 4 s e c 4 ( x )   + C

Passo 5

Ao compararmos os dois métodos podemos ver que as integrais são iguais a menos de uma constante, o que significa que as integrais definidas são iguais!!! Pois,

∫ t g ( x ) s e c 4 ( x ) d x = 1 4 s e c 4 ( x )   + C

= 1 4 s e c 4 ( x ) - 1 / 4   + C 2

= 1 4 t g 4 ( x )   +   1 2 t g 2 ( x ) + C 2

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu um baita trabalho, mas conseguimos fazer!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

desenvolvimento acima

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