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Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

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Exercício 51234678910

Enunciado

Calcule a integral:

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x

Passo 1

Vamos substituir o seno pela forma da teoria:

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x = ∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

= ∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 2 tan ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ sinh ⁡ tan ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x  

Repara, substituindo u = tg ⁡ x 2 e tirando o 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x como 2 d u , já que:

d u = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x → 2 d u = 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Teremos,

1 2 ∫ sinh ⁡ tan ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x   = 1 2 ∫ sinh ⁡ u 2 d u = ∫ sinh ⁡ u d u

Passo 2

Opa, a integral que restou é tranquila e direta de resolver. Temos que:

∫ sinh ⁡ u d u = cosh ⁡ u

Voltando à variável original, u = tg ⁡ x 2 , ficamos com:

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x = cosh ⁡ tg ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ tan ⁡ x 2 sinh ⁡ tan ⁡ x 2 sin ⁡ x d x = cosh ⁡ tg ⁡ x 2 + C

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