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Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

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Exercício 91234567810

Enunciado

Passo 1

Para a nossa integral, vamos precisar das substituições

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2

E

d x = 2 d z 1 + z 2  

Substituindo na integral

∫ 5 d x 3 sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x = 5 ∫ 1 3 2 z 1 + z 2 + 4 1 - z 2 1 + z 2 2 d z 1 + z 2  

= 5 ∫ 2 d z 6 z + 4 - 4 z 2

= 5 ∫ 2 d z 2 ( 3 z + 2 - 2 z 2 )

Fatorando o denominador ficamos com

∫ 5 d x 3 sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x = 5 ∫ d z ( z - 2 ) ( 2 z + 1 )

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar frações parciais

1 ( z - 2 ) ( 2 z + 1 ) = A z - 2 + B 2 z + 1

1 ( z - 2 ) ( 2 z + 1 ) = A ( 2 z + 1 ) ( z - 2 ) ( 2 z + 1 ) + B ( z - 2 ) z - 2 ( 2 z + 1 )

1 = 2 A z + A + B z - 2 B

1 = z 2 A + B + A - 2 B

Logo

A = 1 5

B = - 2 5

Então

∫ d z ( z - 2 ) ( 2 z + 1 ) = 1 5 ∫ 1 z - 2 - 2 5 ∫ 1 2 z + 1

Resolvendo as integrais ficamos com

∫ d z ( z - 2 ) ( 2 z + 1 ) = 1 5 ln ⁡ z - 2 - 2 5   1 2 ln ⁡ 2 z + 1 + C

∫ d z ( z - 2 ) ( 2 z + 1 ) = 1 5 ln ⁡ z - 2 - 1 5   ln ⁡ 2 z + 1 + C

Passo 3

Maaaas, nossa variável não é z e sim x . Para desfazer aquela substituição inicial, precisamos lembrar que

z = tan ⁡ x 2

Então

∫ 5 d x 3 sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x = 5 ∫ d z ( z - 2 ) ( 2 z + 1 )

∫ 5 d x 3 sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x = 5 1 5 ln ⁡ z - 2 - 1 5   ln ⁡ 2 z + 1 + C

∫ 5 d x 3 sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x = ln ⁡ tan ⁡ x 2 - 2 - ln ⁡ 2 tan ⁡ x 2 + 1 + C

Prontinho!

Resposta

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