Calcule a integral:
Passo 1
Primeiramente, vamos tentar reorganizar essa integral que tá maior zona! Pra isso, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é ver o que dá pra por em evidência. No caso, só dá o mesmo. Vamos ficar então com:
Top! Mas ainda parece impossível de resolver. O jeito agora é usar relações trigonométricas pra tirar os termos mais malucos daí. Saca só:
Então ficamos com:
Vamos substituir o cosseno pela forma da teoria:
Obs: caso você tenha boiado nesse passo, se liga no flashback de divisão entre frações:
Sacou? Beleza! Bora seguir o baile...
Opa, agora sim! Temos duas vezes aparecendo na integral, o que nos dá a pista que vamos precisar usar a substituição . Com essa substituição, achamos o também dessa forma aqui ó:
A integral então vai ficar:
Passo 2
Geralmente quando a gente cai numa integral do tipo , por exemplo, a gente já tira de letra que o resultado é . Vamos esquecer, por enquanto, o 4 que tá multiplicando a integral.
Bem, como já sabemos derivar bem a função , vamos tentar fazer então uma integração por partes, beleza? Então se escolhermos:
E escolhermos também:
A integração por partes, que tem a expressão geral:
Vai ficar:
E multiplicando essa parada toda pelo nosso 4 que tinha no início:
Obs: a constante C ser multiplicada por 4 não faz diferença. Esta constante representa uma família de valores e, por isso, podemos desconsiderar o 4. Tipo assim:
Beleza! Essa é a resposta da nossa questão. Mas a gente não pode esquecer de voltar da variável u pra x, ok?
Passo 3
Agora pra fechar com chave de ouro, só voltar pra variável original. Lembrando que , então: