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Exercícios Resolvidos de Integral por Substituição – u=tg(x/2)

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Exercício 81234567910

Enunciado

Passo 1

Para a nossa integral, vamos precisar das substituições

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

sen ⁡ x = 2 z 1 + z 2

E

d x = 2 d z 1 + z 2  

Substituindo na integral

∫ d x 2 - cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x = ∫ 1 2 - 1 - z 2 1 + z 2 + 2 2 z 1 + z 2 2 d z 1 + z 2  

= ∫ 2 d z 2 1 + z 2 - 1 - z 2 + 4 z

= 2 ∫ d z 2 + 2 z 2 - 1 + z 2 + 4 z

= 2 ∫ d z 3 z 2 + 4 z + 1

Passo 2

Passo 3

Agora a integral ficou mais simples. Podemos fatorar a equação do denominador para separar em frações parciais.

2 ∫ d z 3 z 2 + 4 z + 1 = 2 ∫ d z ( z + 1 ) ( 3 z + 1 )

Vamos expressar em frações parciais

1 z + 1 3 z + 1 = A z + 1 + B 3 z + 1

1 z + 1 3 z + 1 = A ( 3 z + 1 ) ( z + 1 ) ( 3 z + 1 ) + B ( z + 1 ) ( z + 1 ) ( 3 z + 1 )

1 = A 3 z + 1 + B ( z + 1 )

1 = 3 A z + A + B z + B

1 = z 3 A + B + A + B

Daí encontramos

A = - 1 / 2

E

B = 3 / 2

2 ∫ d z ( z + 1 ) ( 3 z + 1 ) = 2 - 1 2 ∫ 1 z + 1 d z + 3 2 ∫ 1 3 z + 1 d z

E resolvendo a integrais temos

2 ∫ d z ( z + 1 ) ( 3 z + 1 ) = 2 - 1 2 ln ⁡ z + 1 + 1 2 ln ⁡ 3 z + 1 + C

2 ∫ d z ( z + 1 ) ( 3 z + 1 ) = - ln ⁡ z + 1 + ln ⁡ 3 z + 1 + C

Passo 4

Maaaas, nossa variável não é z e sim x . Para desfazer aquela substituição inicial, precisamos lembrar que

z = tan ⁡ x 2

Então

∫ d x 2 - cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x = - ln ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ 3 tan ⁡ x 2 + 1 + C

Prontinho!

Resposta

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