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Exercícios Resolvidos de Leis de Kirchhoff para Corrente Alternada

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Exercício 71234568910

Enunciado

No circuito abaixo, determine as correntes de malha i 1 e i 2 . Seja v 1 = 10 cos ⁡ 4 t   V e v 2 = 20 cos ⁡ 4 t - 30 °   V .

Passo 1

Primeiro, temos que passar o circuito para o domínio da frequência. Passando cada elemento, temos:

10 cos ⁡ 4 t       →       10 ∠ 0 °   ,         ω = 4   r a d / s

20 cos ⁡ ( 4 t - 30 ° )       →       20 ∠ - 30 °   ,         ω = 4   r a d / s

1   H       →       j ω L = j 4

1   F       →   -   j 1 ω C   = - j 0,25

Logo, o circuito no domínio da frequência é:

Passo 2

Aplicando a LTK na malha 1:

- 10 + I 1 + j 4 I 1 + 1 - j 0,25 I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 0

2 + j 3,75 I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 10

Aplicando a LTK na malha 2:

20 ∠ - 30 ° + 1 - j 0,25 I 2 - 1 - j 0,25 I 1 + 1 + j 4 I 2 = 0

- 1 - j 0,25 I 1 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

Passo 3

Então, precisamos resolver o sistema abaixo:

2 + j 3,75 I 1 - 1 - j 0,25 I 2 = 10 - 1 - j 0,25 I 1 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

Isolando I 1 na primeira equação, temos:

I 1 = 10 + 1 - j 0,25 I 2 2 + j 3,75  

I 1 = 10 + 1 - j 0,25 I 2 2 + j 3,75

I 1 = 10 2 + j 3,75 + 1 - j 0,25 2 + j 3,75 I 2

I 1 = 10 4,25 ∠ 61,93 ° + 1,03 ∠ - 14,04 ° 4,25 ∠ 61,93 ° I 2

I 1 = 2,35 ∠ - 61,93 ° + ( 0,242 ∠ - 75,97 ° ) I 2

Substituindo na segunda:

- 1 - j 0,25 ( 2,35 ∠ - 61,93 ° ) + 0,242 ∠ - 75,97 ° I 2 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

( - 1,03 ∠ - 14,04 ° ) ( 2,35 ∠ - 61,93 ° ) + 0,242 ∠ - 75,97 ° I 2 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

- 2,42 ∠ - 75.97 ° + ( - 0,249 ∠ - 90 ° ) I 2 + 2 + j 3,75 I 2 = - 20 ∠ - 30 °

0,249 j + 2 + j 3,75 I 2 = - 17,32 - j 10 + 0,587 - j 2,35

I 2 = - 16,73 + j 7,65 2 + j 4

I 2 = 18,4 ∠ 155,43 ° 4,47 ∠ 63,43 °

I 2 = 4,12 ∠ 92 °     A

Passo 4

Substituindo o valor que encontramos para a corrente I 2 para encontrarmos I 1 , temos:

I 1 = 2,35 ∠ - 61,93 ° + 0,242 ∠ - 75,97 ° 4,12 ∠ 92 °

I 1 = 1,1 - j 2,07 + 0,99 ∠ 16,03 °

I 1 = 1,1 - j 2,07 + 0,95 + j 0,273

I 1 = 2,05 - j 1,797

I 1 = 2,73 ∠ - 41,24 °     A

Passo 5

Agora é só voltar para o domínio do tempo:

i 1 t = 2,73 cos ⁡ 4 t - 41,24 °   A

i 2 t = 4,12 cos ⁡ 4 t + 92 °   A

Resposta

i 1 t = 2,73 cos ⁡ 4 t - 41,24 °   A

i 2 t = 4,12 cos ⁡ 4 t + 92 °   A

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