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Exercícios Resolvidos de Método da Secante

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Exercício 12345678910

Enunciado

Use o Método da Secante para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para os seguintes problemas:

a e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4

c x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4

d e x - 3 x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5

Passo 1

a Intervalo 1,2

x - 1 = 1

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.678308

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.321692 > 10 - 5

f x 1 = 0.545674 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2

x 1 = 1.678308

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.808103

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.129794 > 10 - 5

f x 2 = 0.085739 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.678308

x 2 = 1.808103

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 1.832298

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.024196 > 10 - 5

f x 3 = 0.011985 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.808103

x 3 = 1.832298

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 1.829331

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.002967 > 10 - 5

f x 4 = 0.000215 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.832298

x 4 = 1.829331

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 1.829383

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 5.2 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 5 = 5.2 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.829383 .

Passo 2

b Intervalo 2,3

x - 1 = 2

x 0 = 3

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 2.35449

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.64551 > 10 - 5

f x 1 = 0.141717 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 3

x 1 = 2.35449

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 2.373149

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.018659 > 10 - 5

f x 2 = 0.021669 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.35449

x 2 = 2.373149

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 2.370674

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.002475 > 10 - 5

f x 3 = 0.000113 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 2.373149

x 3 = 2.370674

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 2.370687

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 1.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 4 = 8.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 2.370687 .

Passo 3

b Intervalo 3,4

x - 1 = 3

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 3.479699

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.520301 > 10 - 5

f x 1 = 3.238465 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 4

x 1 = 3.479699

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 3.680233

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.200534 > 10 - 5

f x 2 = 0.663661 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.479699

x 2 = 3.680233

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 3.73192

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.051688 > 10 - 5

f x 3 = 0.160911 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.680233

x 3 = 3.73192

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 3.721834

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.010087 > 10 - 5

f x 4 = 0.004547 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.73192

x 4 = 3.721834

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 3.722111

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000277 > 10 - 5

f x 5 = 2.9 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.721834

x 5 = 3.722111

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 3.722113

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 1.8 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 5.2 ∙ 10 - 9 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.722113 .

Passo 4

c Intervalo 1,2

x - 1 = 1

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 1.590616

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.409384 > 10 - 5

f x 1 = 0.296526 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 2

x 1 = 1.590616

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 1.284548

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.306068 > 10 - 5

f x 2 = 0.261465 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.590616

x 2 = 1.284548

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 1.427966

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.143418 > 10 - 5

f x 3 = 0.029028 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.284548

x 3 = 1.427966

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 1.413635

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.014331 > 10 - 5

f x 4 = 0.00234 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.427966

x 4 = 1.413635

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 1.412378

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.001256 > 10 - 5

f x 5 = 2.4 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.413635

x 5 = 1.412378

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 1.412391

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 1.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 6 = 2 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.412391 .

Passo 5

c Intervalo e , 4

x - 1 = e

x 0 = 3

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 3.072072

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.072072 > 10 - 5

f x 1 = 0.026986 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 3

x 1 = 3.072072

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 3.056587

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.015486 > 10 - 5

f x 2 = 0.000924 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.072072

x 2 = 3.056586

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 3.057099

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000512 > 10 - 5

f x 3 = 8.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.057099 .

Passo 6

d Intervalo 0,1

x - 1 = 0

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 0.780203

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.219797 > 10 - 5

f x 1 = 0.355767 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 1

x 1 = 0.780203

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 0.902867

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.122664 > 10 - 5

f x 2 = 0.021159 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.780203

x 2 = 0.902867

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 0.910624

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.007757 > 10 - 5

f x 3 = 0.001834 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.902867

x 3 = 0.910624

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 0.910005

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000619 > 10 - 5

f x 4 = 7.8 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.910004 .

Passo 7

d Intervalo 3,5

x - 1 = 3

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = x - 1 f x 0 - x 0 f x - 1 f x 0 - f x - 1 = 3.511704

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.488296 > 10 - 5

f x 1 = 3.490878 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 0 = 4

x 1 = 3.511704

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = x 0 f x 1 - x 1 f x 0 f x 1 - f x 0 = 3.680658

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.168954 > 10 - 5

f x 2 = 0.969235 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.511704

x 2 = 3.680658

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = x 1 f x 2 - x 2 f x 1 f x 2 - f x 1 = 3.745599

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.06494 > 10 - 5

f x 3 = 0.245812 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.680658

x 3 = 3.745599

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = x 2 f x 3 - x 3 f x 2 f x 3 - f x 2 = 3.732461

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.013138 > 10 - 5

f x 4 = 0.011995 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.745599

x 4 = 3.732461

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = x 3 f x 4 - x 4 f x 3 f x 4 - f x 3 = 3.733072

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000611 > 10 - 5

f x 5 = 0.000138 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.732461

x 5 = 3.733072

ε = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = x 4 f x 5 - x 5 f x 4 f x 5 - f x 4 = 3.733079

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 7.1 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 7.9 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.733079 .

Resposta

a Intervalo 1,2 : x - = 1.829383

b Intervalo 2,3 : x - = 2.370687

Intervalo 3,4 : x - = 3.722113

c Intervalo 1,2 : x - = 1.412391

Intervalo e , 4 : x - = 3.057099

d Intervalo 0,1 : x - = 0.910004

Intervalo 3,5 : x - = 3.733079

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A equação: 𝑥 − 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 0 possui uma raiz no intervalo 1.8 ,   2.0   . Determiná-la pelo método regula falsi, com duas casas decimais corretas.
Considere a equação 𝑥 − c o s c o s𝑥= 0 . Obtenha a raiz positiva com cinco casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método regula falsi é 𝑝 ≈ 1.6818   .