Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: , onde é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante positiva. Supondo , e , como calcular, pelo método de Euler aperfeiçoado, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com 𝑦0 = 12.5 𝑒 ℎ = 1?
Passo 1
Oiiiie, logo de cara a gente precisa escrever as equações adaptadas ao problema. Então bora lá, tudo que tem tem que estar do lado esquerdo da igualdade, enquanto tudo o que não tem linha deve estar do lado direito da igualdade. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:
Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.
Substituindo as constantes na EDO, ficamos com:
As equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema ficam desse jeito aqui oh:
Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a . Shooow!
Já a equação de fica assim:
Caaalma, essa equação estranha quer dizer o seguinte oh:
- Onde tiver escrito , escreva ;
- Onde tiver escrito , escreva . E esse é o resultado da primeira equação e é o passo que o professor pediu.
Então, a equação ficou assim oh!
Como , temos:
A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de .
Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida
Passo 2
A tabela é essa aqui oh:
Percebe que o passo na linha do é e sabemos do enunciado que que tá alí na primeira linha do . As outras duas linhas são pra cada K que calcularmos. Beleza?!
Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.
Coluna :
Agora a gente aplica a equação para encontrar .
Agora é só jogar tudo na tabelinha.
Bora pra próxima coluna :
Só aplicar a equação para encontrar agora.
Passando pra tabelinha, que ajuda a gente a não se perder...
Bora pra próxima coluna :
Só aplicar a equação para encontrar agora.
Passando tudo pra tabelinha do passo-a-passo:
Bora pra ÚLTIMA coluna, :
Só aplicar a equação para encontrar agora.
Finalizando a tabela ficamos com:
Dá pra ver aí que encontramos as concentrações de glicose (valores de em verde) para cada instante de tempo pedido pelo professor!! Show de Bolinhas!!