Momento Linear e Energia Relativísticos
Um partícula de massa de repouso igual a e energia cinética igual a ( o projétil ) colide com outra partícula ( o alvo ) que está inicialmente em repouso. A massa do alvo vale .
Após a colisão, as duas partículas ficam unidas, formando uma terceira partícula.
Calcular:
A energia inicial do sistema projétil + alvo.
O valor do momento linear inicial do sistema projétil + alvo.
A velocidade final da terceira partícula resultante da colisão.
A massa de repouso da terceira partícula.
Passo 1
A energia inicial do sistema projétil + alvo.
A energia total do sistema será a soma das energias do projétil e do algo, logo:
Para o projétil, a energia está associada à sua energia cinética pela expressão:
Agora ficou mais tranquilo pro nosso lado porque o problema já nos disse que a massa de repouso do projétil vale e a sua energia cinética vale .
Substituindo esses caras na expressão acima, teremos:
Obs.: Eu coloquei logo as unidades de medida aqui pra não corrermos o risco de substituir o valor de na expressão de , beleza? ;)
Passo 2
Vamos calcular agora a energia do alvo.
A diferença aqui é que, como o alvo está em repouso, a sua energia cinética é nula, logo:
Onde .
Finalmente, a energia total do sistema será:
Passo 3
O valor do momento linear inicial do sistema projétil + alvo.
Vamos seguir a mesma lógica que usamos para a energia. Assim, o momento linear inicial do sistema será:
Como o alvo está em repouso, , logo:
O momento linear relativístico é dado por:
Mas como não temos nem e nem , vamos nos enrolar demais se seguirmos por esse caminho. Ao invés disso, o que podemos fazer é usar a equação que relaciona a energia com o momento linear, dada por:
Opa! Esse é um bom caminho porque já temos e .
Passo 4
Dando uma arrumada nessa expressão e isolando , teremos:
Agora é só substituir os valores.
Obs.: Novamente, vamos dar uma arrumada nas unidades pra não corrermos o risco de substituir na expressão de .
Agora sim, podemos continuar trabalhando com os números.
Finalmente:
Passo 5
A velocidade final da terceira partícula resultante da colisão.
A velocidade está associada ao momento linear relativístico pela expressão:
Só que, dessa expressão, só temos porque, como o momento linear deve se conservar após a colisão:
A energia relativística da partícula final após a colisão pode ser escrita como:
Assim como o momento linear, a energia do sistema também deve se conservar após a colisão, logo:
Então, uma estratégia aqui é calcular o valor de através da expressão da energia e substituí-lo na expressão do momento linear pra descobrir a velocidade.
Passo 6
Substituindo o valore de , teremos:
Substituindo e na expressão de , teremos:
Arrumando um pouco a bagunça:
Substituindo o valor da velocidade da luz, teremos:
Finalmente:
Passo 7
A massa de repouso da terceira partícula.
A expressão que relaciona a energia relativística com o momento linear relativística é dada por:
Como vimos no item :
Assim, isolando nessa expressão, teremos:
Substituindo os valores de e , teremos:
Obs.: Vamos começar organizando as unidades de medida, ok?
Agora sim, vamos mexer com os valores.
Pra acabar:
Resposta