Um motor de potência 3000 HP e frequência 5400 RPM transfere para uma barra AB um torque. Sabendo que a resistência a tensão cisalhante da barra CD é , determine o diâmetro mínimo que a barra CD deverá ter, em mm, para que não rompa com a ação do torque aplicado pelo motor. Dimensões das engrenagens e da barra AB dados na figura.
Passo 1
Nosso objetivo é determinarmos o raio mínimo da barra CD, mas antes dela temos muita coisa pra analisar. O nosso objetivo então é o seguinte, é trocar tudo que vem antes da barra CD por um toque equivalente a isso tudo, mas sempre respeitando as regras que temos que usar, basicamente o nosso objetivo é chegar nesse caso
Quando chegarmos nessa situação usaremos a nossa fórmula para determinar o raio máximo que é dado por
Mas para chegarmos nessa situação precisamos seguir um passo a passo.
Passo 2
Primeiro temos que nos livrar do nosso motor, ou seja, precisamos trocar o nosso motor por um torque equivalente no sentido mostrado na figura. Sabemos pela teoria que a fórmula que nos fornece isso é dada por
Em que é a potência do nosso motor e a frequência, ou seja, devemos nos precaver com o que se relaciona com as unidades. Então vamos lá.
Primeiro sabemos que a potência do nosso motor é dada por
Devemos ter na cabeça a conversão dessa unidade, alguns professores não gostam de dar esse valor na prova, então a nossa relação é
Convertendo teremos que
Também devemos ver a nossa frequência que é dada por
Se dividirmos esse valor por 60 acharemos a nossa frequência em Hz, além do mais, RPM são rotações por minutos, e Hz por segundo, logo fazendo a conversão teremos que
Agora que já temos os nossos valores basta substituir na nossa equação principal
Então a nossa figura agora será
Passo 3
Para trocarmos a nossa barra AB é muito simples, se não há nela nenhum esforço torsor além do transferido pelo motor, significa que todo o esforço transferido pelo motor será transferido para a engrenagem E, como mostra a nossa figura.
Passo 4
Agora temos que tomar cuidado pois se trata de uma relação entre engrenagens, se olharmos elas separadamente teremos o seguinte
A primeira coisa que devemos saber é que, se a engrenagem E gira no sentido horário, então a engrenagem F girará no sentido anti-horário, da mesma forma ocorreria se os sentidos fossem invertidos, logo sabemos que os sentidos de giro serão
Agora que já sabemos os sentidos de giro precisamos analisar as nossas engrenagens separadamente
Sabemos que a engrenagem E empurra a engrenagem F com uma força R mostrada na figura, o que faz com que a engrenagem F gire.
Sabemos também que pela terceira lei de newton aparecerá uma reação na engrenagem E, como o mostrado na figura acima.
Mas no que essas forças nos ajudam?
Sabemos que para calcularmos o torque nessas engrenagens, basta multiplicarmos a força pelo raio
Para cada engrenagem teremos que
Como sabemos que o valor de R é igual pela lei da ação e reação teremos que
Igualando
Como nosso objetivo é determinar o valor de iremos isola-lo na fórmula
Substituindo teremos que
Substituindo na nossa fórmula teremos que
Olhando a nossa figura termos que o nosso torque está agindo da seguinte forma
Onde enfim chegamos no objetivo inicial que tínhamos. Trocamos o Motor, a barra AB e as engrenagens E e F pelo nosso torque de 8 KN.m.
Passo 5
Agora que já temos a nossa barra apenas precisamos analisar a nossa fórmula para tensão cisalhante máxima.
Primeiro sabemos que o cisalhante máximo é o ponto mais externo da nossa barra, ou seja
Também sabemos que o momento polar de inercia para seções circulares é dada por
Uma ultima coisa que devemos saber é que como não queremos que a nossa barra não rompa devemos fazer
Substituindo teremos que
Isolando o valor de
Sabemos que
Substituindo teremos que
Mas precisamos do diâmetro, né: