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Exercícios Resolvidos de Potência em Circuito CA

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Exercício 71234568910

Enunciado

Determine o valor RMS da onda senoidal deslocada abaixo:

Passo 1

Primeiro temos que encontrar a expressão de i ( t ) . Analisando a onda vemos que seu período é π . Logo:

T = π

Como

ω = 2 π T

Temos:

ω = 2 π π = 2   r a d / s

Além disso, o seu valor de um pico ao outro é 4   A . Portanto a sua amplitude será:

I m = 4 2 = 2   A

Então, já sabemos que parte da expressão terá o termo abaixo:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 2

Agora, vamos analisar o deslocamento. Para isso, vamos escolher um ponto do gráfico. Por exemplo a origem ( t = 0 ) . Substituindo na expressão que temos até agora:

2 cos ⁡ ( 2 t ) = 2 cos ⁡ 0 = 2

No gráfico, quando t = 0 a corrente vale zero. Logo, para nossa expressão está de acordo com a onda do gráfico precisamos que o seu valor na origem seja zero. Temos duas formas de fazer isso:

a   i t =   2 cos ⁡ 2 t - 2

b   i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Para verificarmos qual é a que corresponde ao gráfico, vamos escolher um novo ponto. Por exemplo, quando t = π / 2 .

Substituindo em a :

  i t =   2 cos ⁡ 2 π / 2 - 2

i t = 2 cos ⁡ ( π ) - 2

i t = 2 ( - 1 ) - 2

i t = - 4   A

Esse resultado não está de acordo com o gráfico, já que em t = π / 2 a corrente vale 4   A .

Substituindo em b :

  i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 π / 2 )

i t = 2 - 2 ( - 1 )

i t = 2 + 2

i t = 4   A

Esse resultado bate com o gráfico! Logo a expressão que descreve o gráfico é:

i t = 2 - 2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor RMS:

I R M S = 1 T ∫ 0 T i 2   d t

I R M S = 1 π ∫ 0 π 2 - 2 cos ⁡ 2 t 2   d t

I R M S = 1 π ∫ 0 π 4 + 8 cos ⁡ 2 t + 4 cos 2 ⁡ 2 t   d t

I R M S = 1 π ∫ 0 π 4   d t + ∫ 0 π 8 cos ⁡ 2 t   d t + ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ 2 t d t

Lembrando que a integral ao longo do período de uma função senoidal é zero

∫ 0 π 8 cos ⁡ 2 t   d t = 0

e da relação

cos 2 ⁡ a = 1 + cos ⁡ 2 a 2

temos:

I R M S = 1 π 4 π - 0 + 4 ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 4 t 2

I R M S = 1 π 4 π + 4 π 2

I R M S = 1 π 6 π

I R M S = 6

I R M S = 2,449   A

Resposta

I R M S = 2,449   A

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