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Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

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Enunciado

Origem do Exercício

Dentre os pares de campos elétrico e magnético abaixo, descritos em notação complexa (ou fasorial), qual alternativa pode representar uma onda plana eletromagnética propagando-se no vácuo?

Considere E 0 , ω e k constantes e ω = k c .

  1. E → = E 0 e i k y - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k y + ω t x ^
  2. E → = E 0 e i 4 k x - ω t z ^ , B → = E 0 4 c e i 4 k x - ω t y ^
  3. E → = E 0 e i k x - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k x - ω t y ^
  4. E → = E 0 e i k r - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k r - ω t y ^
  5. E → = E 0 e i k 3 x - y 2 - ω t z ^ , B → = E 0 2 c e i k 3 x - y 2 - ω t x ^ + y ^
  6. E → = E 0 e i k x - y 2 - ω t z ^ , B → = - E 0 2 c e i k x - y 2 - ω t x ^ + y ^

Passo 1

Antes de mais nada, deixa eu te acalmar.

“Notação fasorial” é só um nome bonito pra “notação complexa”, que é só uma forma de escrever senos e cosenos (e que usamos para mostrarmos que sabemos muito)(Mentira, tem suas utilidades, mas eu não podia perder a piada).

O que acontece é que existe a seguinte igualdade na matemática:

A e i θ = A cos ⁡ θ + i sen ⁡ θ

Como uma onda pode ser descrita por um coseno, então a gente diz que ela é descrita por:

R e A e i θ

Que significa pegar apenas a parte real lá na nossa igualdade. No plano complexo, pegar apenas a parte real significa pegar a componente ao longo do eixo horizontal.

Pra não assustar alunos, depois a gente vai ficar chamando isso de “fasores” e falar em “notação fasorial”, sem nunca escrever na forma de uma exponencial complexa.

Parece meio aleatório, mas “fasores” ajudam a somar funções periódicas na sua vida durante a faculdade (especialmente importante pra elétrica, eletrônica, controle e automação).

Passo 2

Por um lado, agora você deve estar calmo por saber ler o problema.

Por outro, ainda temos o problema a resolver.

Seguindo o que eu falei antes, olhe cada letra não como ela é, mas como poderia ser. A letra c , por exemplo. Ela é assim:

E → = E 0 e i k x - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k x - ω t y ^

Mas poderia ser assim:

E → = E 0 cos ⁡ k x - ω t z ^ , B → = E 0 c cos ⁡ k x - ω t y ^

Agora sim! Podemos ver que essa tá errada! O produto vetorial entre as direções de E → (que é z ^ ) e B → (que é y ^ ) dá:

z ^ × y ^ = - x ^

Porém, para ondas eletromagnéticas, isso deveria dar a direção e o sentido de propagação, que pelo argumento do coseno é x ^ . O sentido está ao contrário!

Passo 3

Vamos olhar as outras opções agora. Na letra d , ela é praticamente igual à letra c , mas tem um r ali no lugar do x .

Eu não sei quem é r , deve ser a posição no espaço. Assim seria r = x 2 + y 2 + z 2

De qualquer forma, está errado por um motivo semelhante ao anterior. O argumento diz um sentido (que é bem mais geral pelo nosso r ), enquanto as direções de oscilação dizem outro.

Na letra b , é exatamente o mesmo problema dos dois anteriores.

Na letra a , é pior ainda: E → e B → nem em fase estão! Nota como o sinal da parte temporal dos argumentos está ao contrário nos dois.

E → = E 0 e i k y - ω t z ^ , B → = E 0 c e i k y + ω t x ^

Um tá indo pra frente e o outro pra trás? Não faz muito sentido.

Sobraram duas letras que são um pouco mais difícil de enxergar, então vamos deixar pro próximo passo.

Passo 4

Chegamos no próximo passo.

Para esse, iremos olhar a forma geral da equação da onda eletromagnética.

E → = E m á x cos ⁡ k →   ⋅ r → - ω t + ϕ n ^

Onde k → é um vetor que engloba o sentido de propagação e o comprimento de onda, enquanto r → é a posição no espaço, r → = x , y , z , e o produto entre eles é o produto escalar (ou produto interno, para os íntimos).

Nota que se k → = k 1 , k 2 , k 3 , vamos ter:

k → ⋅ r → = k 1 x + k 2 y + k 3 z

Então são os números que multiplicam x , y e z que nos dão o sentido de propagação.

Olhemos a letra e

E → = E 0 e i k 3 x - y 2 - ω t z ^ , B → = E 0 2 c e i k 3 x - y 2 - ω t x ^ + y ^

Mais um filtro aí pros nossos testes: a amplitude do campo magnético é igual a amplitude do campo elétrico sobre a velocidade da luz no vácuo.

B 0 = E 0 c

Qualquer outro número ou sinal, a gente joga pra direção de vibração. Então, fazendo o que fizemos antes:

z ^ × 1 2 x ^ + y ^ = 1 2 y ^ - x ^

Se olharmos no argumento, era pra termos k 1 = 3 2 e k 2 = - 1 2 , o que não deu nem de longe.

Agora olhemos a letra ( f ) .

E → = E 0 e i k x - y 2 - ω t z ^ , B → = - E 0 2 c e i k x - y 2 - ω t x ^ + y ^

Novamente:

z ^ × - 1 2 x ^ + y ^ = - 1 2 y ^ - x ^ = 1 2 x ^ - y ^

Temos então k 1 = 1 / 2 e k 2 = - 1 / 2 . Agora olha o argumento. Agora de volta pra cá. Pro argumento. Agora aqui.

Deu certo!

Então a resposta é a letra f . Ela é a única que segue tudo que uma boa onda eletromagnética tem que ter. Ela ainda está com seu terno fasorial elegante.

Resposta

Letra f

E → = E 0 e i k x - y 2 - ω t z ^ , B → = - E 0 2 c e i k x - y 2 - ω t x ^ + y ^

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