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Exercícios Resolvidos de Propagação das Ondas Eletromagnéticas

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Exercício 31245678910111213141516171819

Enunciado

Usando a notação complexa, some os campos elétricos abaixo:

E 1 → = E 1 cos ⁡ k x - ω t y ^

E 2 → = E 2 sen ⁡ k x - ω t y ^

E 3 → = E 3 cos ⁡ k x - ω t + π y ^

Sendo E 1 = 2 E 2   e E 2 = 2 E 3

Passo 1

Pode parecer meio confuso somar todas essas coisas diferentes, então bora deixar todos esses campos bem parecidos pra gente converter para notacão complexa e somá-los.

Usando a identidade trigonométrica s e n a = c o s ⁡ ( a - π 2 ) podemos deixar E 2 → também com função cosseno, isso é interessante para somarmos depois.

s e n k x - ω t = c o s ⁡ ( k x - ω t - π 2 )

Vamos deixar também os campos em função do menor deles, visando não trabalharmos com frações.

E 2 → = 2 E 3 cos ⁡ k x - ω t - π 2 y ^

Substituindo também no   E 1 →   t e m o s que E 1 = 2 E 2   m a s   E 2 = 2 E 3 , assim:

E 1 → = 4 E 3 cos ⁡ k x - ω t y ^

Passo 2

Vamos passar os vetores para a notação complexa, assim poderemos somá-los.

E 1 → = 4 E 3 cos ⁡ k x - ω t y ^

Para passar pra notacão complexa, o macete é trocar a trigonométrica pelo número de euler e elevarmos esse número a i   vezes o argumento da trigonométrica. Fazendo isso temos pro vetor E 1 → :

E 1 → = 4 E 3 e i k x - ω t y ^

Fazendo isso para os outros vetores teremos:

E 2 → = 2 E 3 e ( k x - ω t - π 2 ) y ^  

E 3 → = E 3 e cos ⁡ k x - ω t + π y ^

Passo 3

Maneiro, agora com todo mundo na notação complexa é só somar os vetores.

∑ E → = E 1 → + E 2 → + E 3 →

∑ E → = 4 E 3 e i k x - ω t y ^ + 2 E 3 e k x - ω t - π 2 y ^ + E 3 e ( k x - ω t + π ) y ^

Arrumando isso, podemos deixar E 3 em evidência.

∑ E → = E 3 ( 4 e i k x - ω t + 2 e k x - ω t - π 2 + 1 e ( k x - ω t + π ) ) y ^

Podemos melhorar isso um pouco, colocando também o e em evidência, assim temos:

∑ E → = E 3 e i k x - ω t ( 4 + 2 e i - π 2 + e i ⁡ + π ) y ^

Resposta

E 3 e i k x - ω t ( 4 + 2 e i - π 2 + e i ⁡ + π ) y ^

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