UNB – Sem campus - Introdução a Álgebra Linear – Listas – Listas de IAL UnB – Lista 2 – 3b
Encontre os valores de para os quais .
Passo 1
Opa meus lindos, tudo bem com vocês? Bora lá resolver essa questão! Aqui somos apresentados pra matriz:
Uma matriz um pouco “estranha” por que a gente tem essas variáveis , mas tudo nos conformes. E então, ele pede os valor de para os quais o determinante dessa matriz assuma valor . Ou seja, ao calcularmos o determinante dessa matriz (para que ela seja 0), vamos encontrar um como variável de uma equação, dessa forma assumindo algum valor. Simbora executar a questão?
Passo 2
Show, primeiramente temos que definir um jeito pra gente calcular esse determinante né? Pra nossa matriz, a maneira mais eficiente vai ser através de uma maneira clássica que muita gente vê no ensino médio até. Ela é calculada por subtrações e somas de certos elementos da matriz. Fiz aqui um modelo visual pra gente poder visualizar melhor.
Lembrando que esses elementos da imagem, correspondem aos elementos de qualquer matriz 3X3. Traduzindo:
Elemento que se encontra na linha (horizontal) e na coluna (vertical) . Por exemplo, pra nossa matriz:
O elemento é aquele que se encontra na segunda linha e segunda coluna, logo o elemento:
Agora a vez de vocês: quem seria o elemento ? Seria o elemento na primeira linha e segunda coluna, logo:
O elemento é o . E por aí vai.
Passo 3
Belezinha, temos então a nossa matriz:
Aplicando a primeira parte do método, que é replicar as duas primeiras colunas ao lado da matriz:
Belezura. Agora vem a parte mais legal! Sabe o método? Esse:
Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:
Bora jogar na matriz da nossa questão? Simbora! Temos então que para:
O determinante pode ser calculado como:
Passo 4
Showzinho, estamos quase lá. Bora primeiro resolver esse monstrinho aqui:
Temos que:
Belezinha, bora continuar os cálculos:
Logo,
Belezinha, determinante encontrado. Agora, vamos adotar a condição que a questão impôs. Ou seja, o determinante ser igual a 0. Dessa forma temos:
Olha só, um polinômio! E ele tem diversas raízes, ou diversas soluções, pra isso ser igual a 0. Essas soluções são justamente os valores de que queremos. Estamos quase lá, vamo que bora!
Passo 5
Belezinha, para o nosso polinômio:
Precisamos achar as raízes. Vocês tem alguma dica pra gente resolver? Vamos tentar dar uma mudadinha na cara dele. A gente pode reescrever esse polinômio como:
Dessa forma, as raízes pra esse polinômio, são:
Portanto, esses são os valores que pode assumir para que o determinante da nossa matriz seja 0! E é isso gente boa! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você