Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

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Enunciado

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

Passo 1

Faaaala aí! Vambora para essa questão sobre subespaço vetorial!

Um subespaço vetorial U tem que atender 3 condições!

  • 0   ϵ   U
  • U é fechado para soma: u , v   ϵ   U →   u + v   ϵ   U
  • U   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   U → λ u   ϵ   U

Passo 2

Show de bolinhas, para testar se U é um subespaço vetorial de   R 3 , precisamos aplicar o teorema, então vamos começar pela primeira condição!

Temos que, no R 3 , o elemento nulo é o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Aplicando na condição do conjunto

U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

Ou seja, temos valores a , b e c que têm que validar essa condição aqui:

b = a + c + 1

Como precisamos verificar o vetor nulo, temos que:

a , b , c = ( 0,0 , 0 )

Ou seja,

a = 0   ; b = 0   ; c = 0

Na condição do conjunto, temos que

b = a + c + 1

Substituindo os valores:

0 = 0 + 0 + 1

0 = 1  

Como sabemos que 0 não é igual a 1 , chegamos a um absurdo.

Logo, nenhum a ,   b e c para obter o elemento nulo. Então o elemento nulo não está contido nesse conjunto U e, portanto, não é um subespaço vetorial de R 3 .

Vamos continuar exercitando isso aí! Foco, fé e força galerinha!

Resposta

U não é subespaço vetorial de R 3 .

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