Determine se é subespaço vetorial de :

Olhando a primeira condição:

Temos que, no , o elemento nulo é o vetor .

Ou seja,

Se igualarmos cara carinha de um lado com outro cara na mesma posição mas do outro lado da igualdade, temos que .

A condição do conjunto diz que:

Agora vamos substituir os valores que obtemos para e :

Como chegamos a um resultado consistente, o pertence ao conjunto.

Show, primeira condição check!

Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema. Conjunto fechado para soma

Vamos pensar em dois vetores, e , desse jeitinho:

E queremos analisar isso daqui:

Somando os vetores, temos que:

Agora vem a sacada, onde tem na restrição de :

vamos substituir por e a mesma coisa para e . Ficamos, então, com:

Podemos ajeitar para ficarmos desse jeitinho aqui:

Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: .

Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:

E

Somando estas duas condições a gente tem:

Que é exatamente a expressão que obtemos ali em cima!

Ou seja:

Show, é verdade isso daí 😊

E assim está fechado para soma.

Uhul, segunda condição check!

Última condição do teorema é ser fechado para multiplicação escalar

Temos que o vetor multiplicado pelo escalar é

Podemos fazer como uma distributiva, ficando com

Logo, aplicando a condição do conjunto ficaríamos com:

Podemos colocar o em evidencia:

Olha só aquele parêntesis do lado esquerdo da igualdade. Como , temos a seguinte relação entre o e :

Substituindo esse resultado na expressão de cima

E vemos que o conjunto é fechado para multiplicação por escalar.

Ebaa, terceira condição check!

Fechamos todas as condições, então é um subespaço vetorial!