Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

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Enunciado

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

Passo 1

Opa, tudo certinho? Vamo que vamo para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Para um conjunto V ser um subespaço temos 3 condições que ele deve obedecer:

  • 0   ϵ   V
  • V é fechado para soma: u , v   ϵ   V →   u + v   ϵ   V
  • V   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   V → λ u   ϵ   V

Passo 2

Olhando a primeira condição:

Temos que, no R 3 , o elemento nulo é o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Ou seja, a , b , c = ( 0,0 , 0 )

Se igualarmos cara carinha de um lado com outro cara na mesma posição mas do outro lado da igualdade, temos que a = b = c = 0 .

A condição do conjunto V diz que:

2 a + 3 b = 5 c

Agora vamos substituir os valores que obtemos para a ,   b   e c :

2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 = 5 ∙ 0

0 = 0

Como chegamos a um resultado consistente, o ( 0,0 , 0 ) pertence ao conjunto.

Show, primeira condição check!

Passo 3

Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema. Conjunto fechado para soma

Vamos pensar em dois vetores, v 1 e v 2 , desse jeitinho:

v 1 = a 1 , b 1 , c 1 ,   v 2 = a 2 , b 2 , c 2

E queremos analisar isso daqui:

v 1 , v 2 ∈ V ⇒ v 1 + v 2 ∈ V ?

Somando os vetores, temos que:

v 1 + v 2 = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 )

Agora vem a sacada, onde tem a na restrição de V :

2 a + 3 b = 5 c

vamos substituir por a 1 + a 2 e a mesma coisa para b e c . Ficamos, então, com:

2 a 1 + a 2 + 3 b 1 + b 2 = 5 c 1 + c 2

Podemos ajeitar para ficarmos desse jeitinho aqui:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: v 1 , v 2 ∈ V .

Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:

2 a 1 + 3 b 1 = 5 c 1

E

2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 2

Somando estas duas condições a gente tem:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Que é exatamente a expressão que obtemos ali em cima!

Ou seja:

v 1 + v 2 ∈ V

Show, é verdade isso daí 😊

E assim está fechado para soma.

Uhul, segunda condição check!

Passo 4

Última condição do teorema é ser fechado para multiplicação escalar

λ ∈ R ,   v = a , b , c ∈ V ⇒ λ v ∈ V ?

Temos que o vetor multiplicado pelo escalar é

λ v = λ a , b , c

Podemos fazer como uma distributiva, ficando com

λ v =   ( λ a , λ b , λ c )

Logo, aplicando a condição do conjunto ficaríamos com:

2 λ a + 3 λ b = 5 λ c

Podemos colocar o λ em evidencia:

λ 2 a + 3 b = λ ( 5 c )

Olha só aquele parêntesis do lado esquerdo da igualdade. Como v = a , b , c ∈ V , temos a seguinte relação entre o   a ,   b e c :

( 2 a + 3 b ) = 5 c

Substituindo esse resultado na expressão de cima

λ 5 c = λ ( 5 c )

E vemos que o conjunto V é fechado para multiplicação por escalar.

Ebaa, terceira condição check!

Fechamos todas as condições, então V é um subespaço vetorial!

Resposta

V é subespaço vetorial de R 3 .

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