Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

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Enunciado

R = x , y , z   ϵ   R 3 x = 0   e   y = z }   é subespaço do R 3 ?

Passo 1

Opa, tudo certo? Bora para mais uma questão sobre subespaço vetorial

O enunciado quer saber se R é subespaço de R 3

Mas esse enunciado está diferente né? Vamos achar como podemos escrever essa condição como um vetor.

Temos que um vetor do R 3 nesse conjunto pode ser escrito como

x , y , z

Em que devemos ter x = 0 e y = z conforme as condições que o exercício nos dá.

Então podemos escrever desse jeitão aqui

0 , y , y

Beleza?

Passo 2

Show, agora vamos relembrar as condições para R ser um subespaço vetorial:

  • 0   ϵ   R
  • R é fechado para soma: u , v   ϵ   R →   u + v   ϵ   R
  • R   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   R → λ u   ϵ   R
  • Vamos analisar essas condições!

    Passo 3

    A primeira diz que

    • 0   ϵ   R

    e nosso R está em R 3 , então o vetor nulo é o vetor nulo do R 3

    0 → ( 0,0 , 0 )

    Lembrando a cara do vetor em R

    ( 0 , y , y )

    Vamos ver se existe algum y para termos

    ( 0 , y , y ) = ( 0 , 0,0 )

    Daí vemos que dá para fazer y = 0 e a gente chega no vetor nulo. Então a primeira condição está show de bola!

    Passo 4

    Simbora para a segunda!

  • R é fechado para soma: u , v   ϵ   R →   u + v   ϵ   R
  • Então vamos escolher dois vetores que são da forma ( 0 , y , y )

    u = ( 0 , a , a ) v = ( 0 , b , b )

    Agora vamos somar esses vetores

    u + v = 0 , a , a + 0 , b , b = 0 , a + b , a + b

    Isso continua na forma de S pois a primeira coordenada ainda é zero, ou seja, ainda temos algo do tipo ( 0 , y , y ) !

    Show, fechou essa condição também!

    Passo 5

    Vamos finalmente para terceira condição

  • R   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   R → λ u   ϵ   R

Vamos usar o mesmo vetor u = 0 , a , a

Multiplicando-o por um escalar λ , temos que

λ ⋅ u = λ 0 , a , a

Isso nos dá que

λ ⋅ u = 0 , λ a , λ a

Continuou dentro do formato! Então essa condição também foi atendida

Show, atendemos as três condições, então podemos dizer que sim, R = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço do R 3

Resposta

R = x , y , z   ϵ   R 3 x = 0   e   y = z }   é subespaço do R 3

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