Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

Ver Teoria

Enunciado

S = a b c 0   ϵ   M 2 R é subespaço de M 2 ( R ) ?

Passo 1

Faaaala aí! Vamos para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Epa para tudo, tem uma matriz aí, pode isso? Pode sim hehe. Isso não vai mudar muita coisa nas nossas condições para S ser um subespaço vetorial. Vamos lembrar quem são as condições?

  • 0   ϵ   S
  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S
  • A única diferença é que estamos falando de uma matriz, mas a ideia é a mesma

    Só uma última coisinha antes de partirmos para testar essas condições:

    Esse M 2 ( R ) que aparece no enunciado é o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 com os elementos reais. Ou seja, qualquer matriz com essa cara aqui:

    a b c d

    Prontinho, estamos com tudo em mãos para resolver essa questão!

    Passo 2

    Vamos começar analisando a primeira condição

  • 0   ϵ   S
  • Como estamos no conjunto de matrizes 2 × 2 , o vetor nulo tem que ser uma matriz 2 × 2 com todos os elementos nulos:

    0 0 0 0

    Então vamos ver a nossa matriz que está em S , ou seja, qualquer matriz que tenha o elemento a 22 = 0 :

    a b c 0

    Se chamarmos a , b e c de zero vamos ter que

    0 0 0 0

    Show, então a gente consegue ter uma escolha de a ,   b e c que nos leva à matriz nula!

    Primeira condição check!

    Passo 3

    Vamos agora para a segunda condição

  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • Vamos escolher duas matrizes que estejam no molde a b c 0   eu escolhi essas duas aqui:

    u =   x y z 0 v =   p q r 0

    Agora vamos somar essas matrizes. Não lembra como soma matrizes? A gente tem que somar os elementos que estão na mesma posição das duas matrizes:

    x y z 0 + p q r 0 = x + p y + q z + r 0

    E essa matriz, continua no padrão de S , com a 22 = 0 então

    u + v   ϵ   S

    Passo 4

    Agora para última condição, temos que:

  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S

Vamos usar a matriz u que criamos para ver o passo anterior

u = x y z 0

E vamos multiplicá-la por um escalar λ

λ ⋅ u = λ x y z 0

Fazendo essa multiplicação, temos

λ ⋅ u = λ x λ y λ z 0

Isso continua no molde de S , então atendemos as 3 condições do teorema.

Portanto S = a b c 0   ϵ   M 2 R é subespaço vetorial de M 2 ( R )

Resposta

S = a b c 0   ϵ   M 2 R é subespaço vetorial de M 2 R

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x - 2 y - z = 0 2 x + y + 3 z = 0 x + 3 y + 4 z = 0
Verificar se o vetor v = ( - 1 ,- 3 ,2 ,0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,- 1 ,3 ,0 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) e v 3 = ( 0 ,1 ,- 1 ,0 ) .