é subespaço de ) ?
Passo 1
Faaaala aí! Vamos para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!
Epa para tudo, tem uma matriz aí, pode isso? Pode sim hehe. Isso não vai mudar muita coisa nas nossas condições para ser um subespaço vetorial. Vamos lembrar quem são as condições?
- é fechado para soma:
- é fechado para multiplicação por escalar:
- é fechado para soma:
- é fechado para multiplicação por escalar:
A única diferença é que estamos falando de uma matriz, mas a ideia é a mesma
Só uma última coisinha antes de partirmos para testar essas condições:
Esse que aparece no enunciado é o conjunto de todas as matrizes com os elementos reais. Ou seja, qualquer matriz com essa cara aqui:
Prontinho, estamos com tudo em mãos para resolver essa questão!
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira condição
Como estamos no conjunto de matrizes , o vetor nulo tem que ser uma matriz com todos os elementos nulos:
Então vamos ver a nossa matriz que está em , ou seja, qualquer matriz que tenha o elemento :
Se chamarmos e de zero vamos ter que
Show, então a gente consegue ter uma escolha de e que nos leva à matriz nula!
Primeira condição check!
Passo 3
Vamos agora para a segunda condição
Vamos escolher duas matrizes que estejam no molde eu escolhi essas duas aqui:
Agora vamos somar essas matrizes. Não lembra como soma matrizes? A gente tem que somar os elementos que estão na mesma posição das duas matrizes:
E essa matriz, continua no padrão de , com então
Passo 4
Agora para última condição, temos que:
Vamos usar a matriz que criamos para ver o passo anterior
E vamos multiplicá-la por um escalar
Fazendo essa multiplicação, temos
Isso continua no molde de , então atendemos as condições do teorema.
Portanto é subespaço vetorial de
Resposta
é subespaço vetorial de