Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

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Enunciado

S = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço do R 3 ?

Passo 1

Faaaaala aí pessoal! Vamos para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Bom, o enunciado pergunta se

( x , 0,0 ) é subespaço de R 3

E um subespaço vetorial S tem que atender 3 condições:

  • 0   ϵ   S
  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S
  • Vamos analisar essas condições!

    Passo 2

    A primeira diz que

    • 0   ϵ   S

    como S tem que ser subespaço de R 3 , então

    0 → ( 0,0 , 0 )

    Vamos ver aqui, se fizermos

    x = 0

    Nosso vetor é

    x ,   0 ,   0 = 0,0 , 0

    Então existe um possível x em que o vetor nulo pertença ao S . A primeira condição está show de bola!

    Passo 3

    Agora vamos para a segunda!

  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • Então vamos escolher dois vetores que são da forma ( x , 0,0 )

    u = ( a , 0,0 ) v = ( b , 0,0 )

    Agora vamos somar esses vetores

    u + v = a , 0,0 + b , 0,0 = a + b , 0,0

    Isso continua na forma de S pois as duas últimas coordenadas ainda são zero!

    Show, fechou essa condição também!

    Passo 4

    Bora para terceira e última condição

  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S

Vamos usar o mesmo vetor u = a , 0,0

Multiplicando-o por um escalar λ , temos que

λ ⋅ u = λ a , 0,0

Isso nos dá que

λ ⋅ u = λ a , λ . 0 , λ . 0 = ( λ a ,   0 ,   0 )

Continuou dentro do formato! Então essa condição também foi atendida

Show, atendemos as três condições, então podemos dizer que sim, S = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço do R 3

Resposta

S = { x , 0,0   ϵ   R 3 } é subespaço vetorial do R 3

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