Faaaala aí! Vamos para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Epa para tudo, tem uma matriz aí, pode isso? Pode sim hehe. Isso não vai mudar muita coisa nas nossas condições para ser um subespaço vetorial. Vamos lembrar quem são as condições?

• é fechado para soma:
• é fechado para multiplicação por escalar:

A única diferença é que estamos falando de uma matriz, mas a ideia é a mesma.

Só uma última coisinha antes de partirmos para testar essas condições:

Esse que aparece no enunciado é o conjunto de todas as matrizes com os elementos reais. Ou seja, qualquer matriz com essa cara aqui:

Prontinho! Estamos com tudo em mãos para resolver essa questão!

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira condição

Como estamos no conjunto de matrizes , o vetor nulo tem que ser uma matriz com todos os elementos nulos:

Vamos ter que considerar uma matriz do conjunto que tem que ter essa carinha aqui

E ver se conseguimos achar um e um que faça com que essa matriz seja a matriz nula. Ou seja:

Para duas matrizes serem iguais, cada elemento de uma tem que ser igual ao elemento de mesma posição da outra matriz. Olhando as duas a gente vai ter:

OPA!!! 1 = 0?! A gente se deparou com uma impossibilidade, não tem nenhum b nem c que faça com que 1 seja igual a 0. Então não tem jeito de existir uma matriz dentro do conjunto que seja a matriz nula ☹

Como já não segue a primeira condição, podemos afirmar que não é subespaço de

Nem precisamos ver as outras condições porque a primeira já veta a possibilidade de ser subespaço!