Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

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Enunciado

Às vezes é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V , subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos serão chamados subespaços vetoriais de V .

Qual das opções contém um subconjunto de R 3 que não é um subespaço vetorial?

I )   W = { a , a , 2 a , a   ϵ   R }

I I )   W = { ( 0,0 , a ) , a   ϵ   R }

I I I )   W = { ( 0,1 , a ) , a   ϵ   R }

I V ) W = { ( a , 2 a , 3 a ) , a   ϵ   R }

Passo 1

Faaaala aí! Tudo certinho? Vamos pra cima dessa questão sobre Subespaços Vetoriais!

Para um subconjunto U ser um subespaço vetorial, precisamos atender 3 condições do teorema:

  • 0   ϵ   U
  • U é fechado para soma: u , v   ϵ   U →   u + v   ϵ   U
  • U   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   U → λ u   ϵ   U

Passo 2

O que a gente vai fazer é ver qual não vai atender às condições, vamos começar fazendo a primeira condição para cada alternativa

I )   W = { a , a , 2 a , a   ϵ   R }

Temos que, no R 3 , o elemento nulo é o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Aplicando na condição do conjunto

W = a , a , 2 a , a   ϵ   R

Ou seja,

( a , a ,   2 a ) = ( 0 , 0,0 )

Aqui a gente vê que se o a for igual a zero ficamos com:

( 0,0 , 2 ⋅ 0 )

Que dá

0,0 , 0

Show 0   ϵ   W

Passo 3

Vamos ver essa condição para as próximas opções

I I )   W = { ( 0,0 , a ) , a   ϵ   R }

Aplicando na condição do conjunto

W = 0,0 , a , a   ϵ   R

Ou seja, temos o valor

a = 0

Que, substituindo no vetor, ficamos com:

( 0,0 , 0 )

Show 0   ϵ   W aqui também

Passo 4

I I I )   W = { ( 0,1 , a ) , a   ϵ   R }

Aplicando na condição do conjunto

W = 0,1 , a , a   ϵ   R

Ou seja, temos valor

a = 0

Que, substituindo no vetor, ficamos com:

( 0,1 , 0 )

Vixiii, não tem nenhum valor de a que faça com que esse 1 vire 0 , então achamos o nosso subconjunto que não é subespaço vetorial

Resposta

I I I )   não é subespaço vetorial

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Verificar se o vetor v = ( - 1 ,- 3 ,2 ,0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,- 1 ,3 ,0 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) e v 3 = ( 0 ,1 ,- 1 ,0 ) .