Exercícios Resolvidos de Subespaço Vetorial

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Enunciado

Verifique se S = { x , y , z ϵ   R 3 ; x + y + z = 0 } é subespaço vetorial de R 3

Passo 1

Opa fala aí! Vamo que vamo para mais uma questão sobre subespaços vetoriais!

Bom, o enunciado pergunta se

( x , y , z ) com a restrição de x + y + z = 0   é subespaço de R 3

E um subespaço vetorial S tem que atender 3 condições:

  • 0   ϵ   S
  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S
  • Vamos analisar essas condições!

    Passo 2

    A primeira diz que

    • 0   ϵ   S

    e como o S tem que ser subespaço de R 3 , então, o vetor nulo tem que ter essa carinha aqui:

    0 → ( 0,0 , 0 )

    Nosso vetorzinho é

    ( x , y , z )

    Vamos ver aqui, para chegar no vetor nulo que eu já mostrei a gente pode fazer x = 0 ,   y = 0 e z = 0  

    Temos

    ( 0,0 , 0 )

    Mas a gente ainda tem que ver se a restrição do enunciado bate

    x + y + z = 0

    Substituindo os valores, temos que

    0 + 0 + 0 = 0

    0 = 0

    Isso é verdade, então show! Nossa primeira condição está check!

    Passo 3

    Agora vamos para a segunda!

  • S é fechado para soma: u , v   ϵ   S →   u + v   ϵ   S
  • Vamos escolher dois vetores para ver nossa condição

    u = ( a , b , c ) e v = ( u , v , w )

    Agora vamos fazer u + v

    u + v = a , b , c + u + v + w

    Juntando isso daí, temos:

    u + v = a + u , b + v , c + w

    Agora vamos colocar isso na nossa restrição!

    Nosso x = a + u , nosso y = b + v e nosso z = c + w e a nossa restrição nos diz que devemos ter

    x + y + z = 0

    Substituindo temos:

    a + u + b + v + c + w = 0

    Agora vamos separar isso desse jeitinho aqui

    a + b + c + u + v + w = 0

    Como ( a , b , c ) está incluso em S , a soma de a + b + c tem que ser igual a zero, mesma coisa para u + v + w

    Então, temos que

    0 + 0 = 0

    0 = 0

    Beleza, então segunda condição cheeeck!

    Passo 4

    Bora para terceira e última condição

  • S   é fechado para multiplicação por escalar: λ   ϵ   R   ,     u   ϵ   S → λ u   ϵ   S

A gente tem que pegar um escalar (que vamos chamar de λ )   e multiplicar pelo nosso vetor

λ ⋅ x , y , z = ( λ x , λ y , λ z )

Agora colocando isso na nossa restrição, temos

λ x + λ y + λ z = 0

Podemos colocar o λ em evidência, ficando com

λ ⋅ x + y + z = 0

E como temos, pela restrição que x + y + z = 0 , ficamos com

λ ⋅ 0 = 0

0 = 0

Uhul, fechamos as 3 condições então!

S = { x , y , z ϵ   R 3 ; x + y + z = 0 } é subespaço vetorial de R 3

Resposta

S = { x , y , z ϵ   R 3 ; x + y + z = 0 } é subespaço vetorial de R 3

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