Exercícios Resolvidos de Taxa, Fluxo e Força Motriz

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Enunciado

Calcule a taxa volumétrica e mássica, Q e m ˙ , respectivamente, através da superfície S de largura w mostrada na figura, onde o vetor velocidade faz um ângulo de 60˚ com o eixo x e sua magnitude é dada por v = v 0 ( b 2 - x 2 ) b ² . A densidade do fluido é ρ .

Passo 1

Bom, a gente já sabe que a taxa volumétrica é dada pela expressão:

Q =   ∫ S v ^ · n ^   d S

Onde esse produto é escalar, logo ele é calculado pela multiplicação do módulo dos vetores vezes o cosseno do ângulo formado entre eles: │ v │ . │ n │ .   c o s θ , beleza?

A gente já tem a expressão da velocidade, falta a gente saber que ângulo usar!O problema disse que a velocidade faz um ângulo de 60˚ com o eixo x, mas o vetor normal da superfície S é paralelo ao eixo y, logo o ângulo que a gente vai usar é 30˚!

Então bora resolver a nossa integral!

Passo 2

Como estamos integrando a área, e ela tem duas dimensões, vamos fazer uma integral dupla variando de 0 a 2 b em x, e de 0 a w em z (que seria o eixo entrando na tela)!

Q = ∫ 0 w ∫ 0 2 b v o ( b 2 - x 2 ) b 2   c o s 30 ˚ d x d z

Lembrando que o vetor normal é unitário, então o módulo dele é 1!

Integrando essa expressão em relação a x temos:

Q = v 0 c o s 30 ˚ ∫ 0 w x - x 3 3 b 2   │ 0 2 b

Aplicando os limites de integração:

Q = v 0 c o s 30 ˚ ∫ 0 w 2 b -   8 b 3 d z

Integrando em relação à z:

Q = v 0 c o s 30 ˚ 2 b w - 8 b w 3

Finalmente:

Q = 2 √ 3 b v 0 w 3

Passo 3

Agora calculando a taxa mássica: m ˙ =   ∫ S ρ ( v ^ · n ^ )   d S

Considerando a densidade constande, ela pode ser reescrita como: m ˙ =   ρ . Q  

Assim:

m ˙ =   2 √ 3 ρ b v 0 w 3

Passo 4

Resposta

Q = 2 √ 3 b v 0 w 3

m ˙ =   2 √ 3 ρ b v 0 w 3

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