O tubo de aço tem de diâmetro externo e uma espessura de parede de . Sabendo que o braço está rigidamente fixado ao tubo, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto .

Então vamos começar pela análise dos esforços internos.

Precisamos secionar o tubo na seção em que se encontram os pontos e .

Fazendo o uso de um desenho simplificado do conjunto e fazendo essa seção, vamos ter:

Aí, agora, temos que nos lembrar dos possíveis esforços internos que podem existir nessa seção:

• Força Normal ;
• Força Cortante , que para essa seção em um conjunto em como esse, pode existir tanto ao longo do eixo quanto ao longo do eixo ;
• Torque Interno , que também pode ser chamado de momento torsor ou de momento em volta do eixo , ;
• E momentos fletores ou , que para essa seção em um conjunto em como esse, pode existir tanto em volta do eixo quando em volta do eixo .

Mas aí...

Percebendo que a única força externa na nossa peça é a força de , percebemos que ela não vai gerar:

• Nenhuma força normal ;
• Nenhuma força cortante ao longo do eixo ;
• & nenhum momento fletor em volta do eixo .

Então os nossos esforços internos na nossa seção vão ficar assim:

Agora, podemos aplicar o equilíbrio no desenho que fizemos no passo anterior para encontrarmos o valor de cada esforços interno.

Começando pelo equilíbrio de forças no eixo , temos:

O que significa que:

Seguindo com o equilíbrio de torques para o nosso tubo , temos:

Aí aqui, vamos ter dois torques no nosso tubo:

• o torque interno , que desenhamos de forma a estar no sentido oposto do eixo (sentido negativo);
• e o torque gerado pela força de com um braço de , que pela regra da mão direita vai estar no sentido do eixo (sentido positivo).

Dessa forma, o nosso somatório de torques fica assim:

O que significa que:

Ou, em :

Para finalizar, utilizamos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

Aqui, vamos ter o momento fletor no sentido anti-horário () e um momento gerado pela força de com um braço de no sentido horário ().

Então, nosso somatório fica assim:

Isolando , encontramos:

Ou, em :

Chegou a hora de calcular e avaliar o sentido de cada tensão causada por cada um desses esforços internos.

Começando pela força de cisalhamento :

Sabemos que a tensão de cisalhamento causada por uma força de cisalhamento é nula no topo e na base de uma seção.

E, nesse nosso caso, nós temos uma força de cisalhamento ao longo do eixo .

E, ao longo do eixo , o nosso ponto está efetivamente no topo da seção:

Então...

A tensão de cisalhamento devido a força de cisalhamento é nula no ponto .

Seguindo com o torque interno .

Pelo que estudamos lá em torção, sabemos que ele vai causar uma tensão de cisalhamento nos pontos da nossa seção de acordo com a fórmula:

Onde:

• é a distância entre o centro da seção e o ponto em que queremos avaliar a tensão (no nosso caso, o ponto , que está na superfície externa do tubo de tal forma que );
• & é o momento polar de inércia, que podemos calcular para um tubo vazado como:

Sendo que, substituindo e , isso dá:

Aí, aplicando a fórmula da torção para o nosso ponto , temos:

E substituindo , e , encontramos que:

Finalmente, calculando tudo e sabendo que é o mesmo que , encontramos que:

Agora, antes de seguir para a tensão causada pelo momento fletor , temos que entender o sentido dessa tensão causada pelo torque interno .

Para tanto, podemos olhar para a forma como desenhamos nosso torque interno lá no passo 2, mas dessa vez também olhando para o posicionamento de em relação à esse torque:

Aí, usando a regra da mão direita:

...conseguimos visualizar como é o sentido desse torque e da tensão causada por ele:

Assim, percebemos que o cisalhamento causado pelo torque no ponto aponta para a esquerda na aresta inferior do elemento :

Mas aí, nós já estudamos também como um cisalhamento em uma aresta tem que ser equilibrado por cisalhamentos em outras arestas, de forma a não provocar um movimento do ponto .

Dessa forma, o cisalhamento no ponto fica assim:

Por fim, chegamos a tensão causada pelo momento fletor .

Sabemos que um momento fletor causa em uma seção tensões normais de acordo com a fórmula da flexão:

Onde:

• é a posição do ponto em que se quer medir a tensão (nesse caso, o nosso ponto ) em relação à linha neutra/centróide da seção;
• & é o momento de inércia da área da seção, que para uma seção circular vazada é dado pela fórmula:

Dessa forma, substituindo e , vamos encontrar que:

Aí, na hora de aplicarmos a fórmula da flexão para o nosso ponto , podemos aplicá-la em módulo:

Isso porque, como estamos lidando com um problema 3D, a fórmula da flexão não é confiável para fornecer o sinal da tensão .

É mais seguro calcular a intensidade de e depois olhar com calma para a forma que desenhamos o momento para descobrirmos se ele causa tração ou compressão no ponto .

Então vamos lá!

Aplicando a fórmula da flexão para , temos:

Aí, substituindo:

• ;
• , uma vez que a linha neutra/centroide da nossa seção circular vazada está bem no meio da seção enquanto que o nosso ponto está na superfície externa da seção;
• & ,

Vamos ter que:

Finalmente, calculando tudo isso e sabendo que é o mesmo que , encontramos que:

Falta entendermos o sentido dessa tensão , então vamos olhar para a forma como desenhamos nosso momento fletor :

Olhando para essa figura, percebemos que o momento comprime o ponto ao longo da vertical (eixo ).

Dessa forma, temos que:

Sendo que o sinal de negativo indica que essa tensão é uma compressão.

Agora, podemos desenhar e definir o estado plano de tensões para o ponto .

Pegando o desenho que tínhamos feito no final do passo 6 e adicionando a compressão na vertical de , obtemos nosso estado plano de tensões para :

Aí, a partir desse desenho, conseguimos definir as nossas tensões , e para o ponto :

FINALMENTE, chegamos ao último passo desse exercício.

Chegou a hora de calcular as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto .

Para tanto, começamos calculando e :

E em seguida, aplicamos que:

Para encontrarmos nossas respostas: