Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses

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Enunciado

Um método padrão para a determinação de monóxido de carbono (CO) em misturas gasosas é conhecido por centenas de medidas por ter um desvio padrão de 0,21   p p m   C O . Uma modificação no método torna o valor de s igual a 0,015   p p m   C O para um grupo de 12 graus de liberdade. Uma seguda modificação, também baseada em 12 graus de liberdade, tem desvio padrão de 0,12   p p m   C O . Alguma das modificações é significantemente mais precisa que o método padrão?

Passo 1

Bom, vamos lá pessoal. A historinha é a seguinte: tem esse método, super antigo usado para determinar CO. Sabe-se através de centenas de medidas que o desvio padrão para esse método é 0,21   p p m   C O . Aí o pessoal não estava muito satisfeito, e queria melhorar a precisão desse método, ou seja, diminuir o desvio padrão dele. Fizeram uma modificação e um teste com 12 graus de liberdade e encontraram desvio padrão de 0,015   p p m   C O . Não ficaram satisfeitos, e fizeram outra modificação e mais testes e encontraram dessa vez o desvio padrão de 0,12   p p m   C O , também com 12 graus de liberdade.

Olhando assim, parece que de fato melhorou, o desvio padrão diminui, mas a pergunta é: 12 graus de liberdade são suficientes para afirmar com certeza que as modificações tornaram o método mais preciso?

Então, precisamos realizar um teste F, que é o teste que compara as variâncias. A nossa hipótese nula será que as variâncias são iguais. Se o teste passar, ou seja, a hipótese nula for verdadeira, então quer dizer que uma variância é igual a outra, e que a modificação não tornou o método mais preciso. Se o teste não passar, as variâncias serão significativamente diferentes e a modificação de fato terá deixado o método mais preciso.

Passo 2

O teste F é feito simplesmente dividindo uma variância pela outra, ou seja, para a primeira modificação:

F 1 = s p a d r ã o 2 s 1 2 = 0,21 2 0,15 2 1,96

Para o segundo método:

F 2 = s p a d r ã o 2 s 2 2 = 0,21 2 0,12 2 = 3,06

Passo 3

Agora que já encontramos os dois valores de F para as duas modificações, devemos encontrar o F c r i t na tabela abaixo. Como o enunciado não falou qual nível de confiança usar, vamos usar a tabela de nível de confiança de 95 % pois esse é um valor bastante usual e satisfatório de nível de confança

Como no nosso numerador temos o teste padrão com centenas de resultados, consideraremos o grau de liberdade infinito para o numerador. Já o grau de liberdade do denominador é 12 para ambos os casos.

Sendo assim:

F c r i t = 2,30

Portanto temos:

F 1 < F c r i t

F 2 > F c r i t

Sendo assim, o método 1 passou no teste, e teve sua hipótese nula validada, ou seja, as a variância do método padrão e do método com a primeira modificação não tem diferença significativa. Já para a modificação 2, o valor de F calculado foi maior que o do F crítico, portanto as variâncias não podem ser consideradas iguais, e a modificação 2 de fato torna o método mais preciso.

Resposta

Modificação 1 não altera a variância, modificação 2 torna o método mais preciso.

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