f Uma corda com 30 m de comprimento está pendurada no alto de um prédio com 30 m de altura. A densidade linear da corda é 1 / (1 + x^2) kg / m , onde x é a distância ao solo. Ache o trabalho realizado quando se puxa a corda toda até o alto do prédio.

Passo 1

Primeiro vamos lembrar que W , o trabalho, é dado pela integral da força feita:

W = ∫ a b F x d x

O peso de um pedaço infinitesimal da corda é dado por:

g r a v i d a d e . m a s s a

= ( g r a v i d a d e ) ( d e n s i d a d e ) ( d i s t â n c i a   a o   p o n t o   d e   a p l i c a ç ã o   d a   f o r ç a )

= g 1 1 + x 2 30 - x

Chamei de g a gravidade. Repara que x é a distância do pedaço infinitesimal até o solo, o que significa que do alto do prédio até um ponto qualquer a uma altura x a distância será 30 - x , a tal distância de aplicação da força, já que no enunciado é especificado que puxamos a corda para o alto do prédio. Então, a integral tem essa cara aqui:

W = ∫ 0 30 g 1 1 + x 2 30 - x d x

= ∫ 0 30 g 30 1 + x 2 d x - ∫ 0 30 g x 1 + x 2 d x

Passo 2

A primeira integral cai no formato do arco tangente. A outra sai por substituição:

u = 1 + x 2 → d u = 2 x   d x ; x   d x = d u 2

∫ x 1 + x 2 d x = ∫ d u 2 u

= ln ⁡ u 2 = ln ⁡ 1 + x 2 2

Assim,

W = ∫ 0 30 g 30 1 + x 2 d x - ∫ 0 30 g x 1 + x 2 d x

= g 30 arctg ⁡ x - ln ⁡ 1 + x 2 2 [ 30 0

= g 30 arctg ⁡ 30 - ln ⁡ 1 + 30 2 2 - g 30 arctg ⁡ 0 - ln ⁡ 1 + 0 2

= g 30 arctg ⁡ 30 - ln ⁡ 901 2   J

Esse é o nosso trabalho, em J o u l e s .

Resposta

W = g 30 arctg ⁡ 30 - ln ⁡ 901 2   J

Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma força

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