Integração por Substituição Simples
Uma corda com de comprimento está pendurada no alto de um prédio com de altura. A densidade linear da corda é , onde é a distância ao solo. Ache o trabalho realizado quando se puxa a corda toda até o alto do prédio.
Passo 1
Primeiro vamos lembrar que , o trabalho, é dado pela integral da força feita:
O peso de um pedaço infinitesimal da corda é dado por:
Chamei de a gravidade. Repara que é a distância do pedaço infinitesimal até o solo, o que significa que do alto do prédio até um ponto qualquer a uma altura a distância será , a tal distância de aplicação da força, já que no enunciado é especificado que puxamos a corda para o alto do prédio. Então, a integral tem essa cara aqui:
Passo 2
A primeira integral cai no formato do arco tangente. A outra sai por substituição:
Assim,
Esse é o nosso trabalho, em .