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Exercícios Resolvidos de Transformada de Função vezes Exponencial

Ver Teoria
Exercício 2134567891011

Enunciado

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função de t

e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t

Passo 1

Aqui vamos basicamente fazer aplicação de fórmulas,

Ele quer

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - L 3 t 2 e 3 t

Vamos fazer por partes

Passo 2

Começando com

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t

Lembre-se que

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Então

cos 2 ⁡ 3 t = 1 + cos ⁡ 6 t 2

A nossa transformada fica

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t = L e - 2 t 1 + cos ⁡ 6 t 2 = L e - 2 t 2 + L e - 2 t cos ⁡ 6 t 2

= 1 2 L e - 2 t + 1 2 L e - 2 t cos ⁡ 6 t

Lembrando que

L e a t = 1 s - a

E

L e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Então

1 2 L e - 2 t + 1 2 L e - 2 t cos ⁡ 6 t = 1 2 1 s - - 2 + 1 2 s - - 2   s - - 2 2 + 6 2 = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36

Passo 3

Vamos ver agora

L 3 t 2 e 3 t

Lembrando que

L e c t f t = L f t s - c

Então temos

L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 e 3 t = 3 L t 2 s - 3

Precisamos lembrar também que

L t n = n ! s n + 1

Então

L t 2 = 2 ! s 3 = 2 s 3

Assim vamos ter

L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 s - 3 = 3 2 s - 3 3 = 6 s - 3 3

Passo 4

A transformada vai ser a subtração do que achamos no passo 3 com o que achamos no passo 2

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

Resposta

1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3