Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de
Passo 1
Vamos resolver uma transformada em cada passo. Primeiro, vamos calcular:
Ok, aqui temos um que multiplica . Bem, aqui temos que lembrar que o vai remeter a derivada:
Beleza, resta saber . Neste caso, , cuja transformada é tabelada e igual a:
Repara que é igual ao do , só que com o sinal do a trocado embaixo. Só pela oportunidade, a mesma lógica vale para o :
Se seu professor não dá uma tabela na prova, fica a dica na hora de lembrar. Você também pode usar a definição e o resultado vai sair integrando por partes. Agora, retornando ao nosso problema, temos:
Logo:
Em que, usando a regra da cadeia:
Passo 2
Agora vamos calcular:
Lembrando que:
Temos:
Como:
Então, usando a regra do quociente:
Passo 3
Para fechar, vamos calcular agora:
Temos que lembrar aqui que a exponencial vai atuar deslocando a transformada do que ela está multiplicando:
Neste caso, temos que:
Então vamos calcular a transformada:
Para isso, precisamos lembrar da transformada de uma derivada, de forma geral:
Vamos calcular esses termos para o que nós temos. Para :
Como:
Temos:
OK, agora temos que calcular algumas as derivadas para entender o que acontece. Usando a regra do produto:
Para não ter que fazer isso vezes, vamos reparar que em todas as derivadas aparecem o elevado a alguma coisa multiplicando tudo. De forma que o termo de menor grau multiplicando é, para cada derivada:
Então, é natural supor que:
Logo, temos, neste caso:
Todas as derivadas que aparecem tem todos os termos multiplicados por de grau maior ou igual a , logo, para :
E temos:
Então, temos que:
Pronto!