Calculo 4 – UFPE – 2° EE
Determine por meio da definição de transformada de Laplace, a transformada de Laplace da seguinte função (obs: Só será considerado o cálculo feito pela definição!)
Passo 1
Se a gente sabe utilizar as relações para calcular a transformada de Laplace da nossa função , já começamos o jogo ganhando! Saberemos que a resposta deve ser:
Seria tudo resolvido tão facilmente. Mas, infelizmente, não é isto que a questão pede. Precisamos obter a transformada de Laplace pela definição. Vamos só aproveitar para confirmar o resultado que fizermos pela definição com o resultado esperado.
Vamos começar relembrando a definição da transformada de Laplace. Seja uma função , a sua transformada será dada por:
Portanto, como a nossa função é , temos que resolver a seguinte integral:
Passo 2
Agora que já montamos a transformada de Laplace pela definição, precisamos resolver esta integral imprópria. Primeiramente, vamos resolver a integral indefinida associada. Depois, substituiremos os limites de integração.
Portanto, a integral indefinida associada é:
Vamos precisar integrar por partes. Relembrando,
Então, seja e . Então, e , resultados obtidos pela derivação direta e integração das funções.
Se substituirmos as relações acima na forma da integração por partes, temos:
Resolvendo a última integral, temos:
Passo 3
Após resolvermos a integral indefinida, podemos substituir na integral imprópria do passo 1 e substituirmos os limites de integração. Portanto,
Como não podemos substituir o valor , temos que aplicar um limite com . Sempre precisamos fazer isto com integrais impróprias. Já para , podemos substituir diretamente na função. Sendo assim, temos:
Vamos resolver separadamente cada limite. Começando pelo primeiro que aparece, temos:
Temos uma indeterminação no final! Para resolvermos esta indeterminação, vamos passar o termo para o denominador e transforma esta indeterminação em . Depois, vamos utilizar a regra de L’Hospital (deriva em cima e deriva em baixo) e observar se o valor obtido ainda é uma indeterminação ou se já é a resposta!
Portanto,
Após confirmarmos a indeterminação, aplicamos a Regra de L’Hospital. Portanto,
Pronto o nosso primeiro limite é 0. Se nós substituirmos lá na transformada de Laplace, temos:
Só nos resta resolvermos este outro limite. Também é esperado que ele seja zero, para que coincida com a resposta que escrevemos no Passo 1. Vamos confirmar isto agora!
E realmente coincidiu. Portanto,
E é exatamente a resposta que escrevemos logo no início do Passo 1!