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Exercícios Resolvidos de Transformada de Função vezes Exponencial

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Exercício 6123457891011

Enunciado

Questão 2: Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

a )   f 1 t = t 4 - 2 e - 3 t + 2 cos 2 ⁡ t ,   t ≥ 0 ;

Passo 1

Bem, primeiro vamos aplicar Laplace na equação:

F 1 s = L t 4 - 2 e - 3 t + 2 cos 2 ⁡ t s  

Por linearidade da transformada sabemos que:

F 1 s = L t 4 - 2 L e - 3 t + 2 L cos 2 ⁡ t

Agora calculemos cada um das Laplace!

Passo 2

Primeiro

L t 4

Ora, transformada de polinômio é:

L t n = n ! s n + 1

Então...

L t 4 = 4 ! s 5

Só que é valido para s > 0

Passo 3

Agora

L e - 3 t ⋅ 1

Essa daí segue a Laplace de função vezes uma exponencial:

L e a t f x = F s - a

Então, como a transformada de 1 é 1 / s ...

L e - 3 t ⋅ 1 = 1 s + 3

Válido para s > - 3

Passo 4

Por último calculando...

L cos 2 ⁡ t

Lembrando que

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2 =

1 2 + cos ⁡ 2 t 2

Logo...

L cos 2 ⁡ t = L 1 2 + cos ⁡ 2 t 2 =

1 2 s + 1 2 s s 2 + 4

Em relação ao cosseno s > - 2 , mas em relação ao ½ ... s > 0 .

Passo 5

Então, concluímos que:

F 1 s = L t 4 - 2 L e - 3 t + 2 L cos 2 ⁡ t   →

F 1 s = 4 ! s 5 - 2 1 s + 3 + 2 1 2 s + 1 2 s s 2 + 4 →

F 1 s = 4 ! s 5 - 2 s + 3 + 1 s + s s 2 + 4

Como em todos s > 0 é o conjunto que todos satisfazem, então s dessa transformada tem que ser maior que 0 de fato !

Resposta

F 1 s = 4 ! s 5 - 2 s + 3 + 1 s + s s 2 + 4   ,         s > 0