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No processo de modelagem de um problema, sabe-se que determinada variável tem uma distribuição de probabilidade simétrica. Entretanto há controvérsias sobre se ela deve ser uma Uniforme ou uma Normal. Considere as variáveis aleatórias e , tais que e . Para comparar as distribuições de e de , calcule:
a)
b)
c) , (, significa distância interquartil).
Passo 1
a)
Existem duas v.a.s que podem representar o mesmo processo de modelagem. E se elas descrevem o mesmo processo, elas devem ter parâmetros iguais. Então:
As fórmulas da esperança e da variância de uma distribuição uniforme são conhecidas, e as da normal são dadas. Vamos igualar as fórmulas então:
Vamos chamar essa relação de nossa queridinha e guardá-la para daqui a pouco!
Passo 2
Agora vamos começar a calcular as probabilidades. Primeiro o numerador:
Podemos padronizar esse aí, já que ele segue uma Normal. Mas aí fazemos as operações de subtração e divisão para todos os termos da inequação:
Usando as propriedades da Normal, desenvolvemos isso aí:
Olhando quanto vale na tabela...
Agora o denominador:
Na distribuição uniforme, podemos calcular isso aí fazendo:
Agora vamos usar nossa queridinha! Lembrando que :
Essa daí é a probabilidade do denominador então. Juntando as duas que calculamos:
Passo 3
b)
Vamos fazer o mesmo procedimento agora. Primeiro para o numerador:
Podemos padronizar esse aí, já que ele segue uma Normal. Mas aí fazemos as operações de subtração e divisão para todos os termos da inequação:
Usando as propriedades da Normal, desenvolvemos isso aí:
Olhando quanto vale na tabela...
Agora o denominador:
Na distribuição uniforme, podemos calcular isso aí fazendo:
Agora vamos usar nossa queridinha! Lembrando que :
Essa daí é a probabilidade do denominador então. Juntando as duas que calculamos:
Passo 4
c)
Para descobrir a distância interquartil, temos que saber onde ficam os quartis de cada caso.
Começando pelo , que é uma normal. Usamos a tabela da normal para achar os pontos com e de probabilidade (primeiro e terceiro quartil respectivamente):
Mas esses daí seriam os quartis de uma normal padrão, para representar os quartis da nossa v.a. que tem média diferente de zero e desvio padrão diferente de (ou seja, não é padrão), vamos ter que fazer:
Por quê?! Porque estamos “despadronizando” os , para vermos quanto eles valem para a nossa Normal! E pra despadronizar nós fazemos as operações inversas das que fazemos na hora de padronizar, ou seja, ao invés de subtrair a média e dividir pelo desvio padrão, nós multiplicamos pelo desvio padrão e somamos a média.
Então nosso DIQ fica:
Passo 5
E para calcular o DIQ na v.a. , temos que pensar... o gráfico da função dessa distribuição é uma reta paralela ao eixo , como o nome diz, os valores se distribuem uniformemente... então pra gente calcular os pontos onde temos e dos dados, podemos fazer uma interpolação! Não se assusta e vem comigo.
Para o ponto com dos dados (), estamos mais pertos do ponto que do ponto , certo? Mais precisamente, estamos MAIS PRÓXIMOS DE , e mais próximos de . Então:
E para o terceiro quartil, que é o ponto com dos dados, pensamos o contrário:
Então nosso DIQ fica:
Passo 6
Portando, nossa razão de DIQs é:
E lembrando pela última vez da nossa relação queridinha, isso daí é simplificado para:
Resposta
a)
b)
c)