Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

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Enunciado

A barra de aço da figura foi sujeita aos esforços de torção mostrado na figura. Sabendo que se trata de uma seção triangular com as dimensões mostradas, e que ainda a barra possui um modulo de elasticidade transversal de 200   G P a determine as reações da parede nesse caso.

Passo 1

Como podemos ver, nesse tipo de questão precisamos determinar as reações de apoio. Para determinarmos essas reações de apoio precisamos saber se o nosso problema é isostático ou se é um problema estaticamente indeterminado. Como temos duas paredes no nosso problema, podemos desconfiar que talvez seja a segunda opção.

Para termos certeza que se trata de um problema estaticamente indeterminado, precisamos definir o diagrama de corpo livre e fazer o balanceamento entre o número de incógnitas e o número de equações, então vamos lá

Fazendo o somatório de torques teremos que

∑ T = 0

T A + T D - 210 + 9 0 = 0

T A + T D = 1 20

Como podemos ver temos duas incógnitas ( T A , T D ) e uma única equação ( T A + T D = 1 20 ), logo de fato se trata de um problema estaticamente indeterminado. Sabemos então, que para resolve-lo precisamos do que chamamos de equação de compatibilidade.

Passo 2

Temos que lembrar que a nossa equação de compatibilidade, nesse caso, será o nosso ângulo de torção, dado por

ϕ = T   . L G   .   J

Mas onde ela será usada?

Ai que entra a nossa relação de deformação angular, ou seja, a deformação angular da nossa barra deve ser igual a deformação angular total máxima que ela pode ter, que pode ser dada por

ϕ A D = ϕ t o t a l

O que precisamos saber primeiro: como as paredes são indeslocaveis a deformação angular total máxima possível para a nossa barra é zero, logo

ϕ t o t a l = 0

O que devemos saber por segundo é que a deformação angular do trecho AD é composto de três parcelas, uma do trecho AB, uma do trecho BC e por fim do trecho CD. Logo podemos escrever a nossa equação de compatibilidade como.

ϕ A B + ϕ B C + ϕ C D = 0

Colocando tudo em termos do que já temos e também usando a nossa fórmula de deformação total teremos que

T A B . L A B G   .   J +   T B C . L B C G   .   J + T C D . L C D G   .   J = 0

Sabemos que como a barra é homogênea, tanto o momento polar de inercia quanto o módulo de elasticidade transversal são iguais nos três trechos. Também sabemos facilmente determinar o valor de cada comprimento que é dado no desenho. Então o que falta é apenas determinar o valor dos torques em cada trecho.

Passo 3

Como só falta determinar o torque, basta apenas que cortemos as barras e façamos o equilíbrio da nossa peça.

Primeiro Torque do trecho AB

Fazendo o equilíbrio teremos que

- T A B + T D - 210 + 90 = 0

T A B = T D - 120

Normal do trecho BC

Fazendo o equilíbrio teremos que

- T B C + T D + 90 = 0

T B C = T D + 90

Normal do trecho CD

Fazendo o equilíbrio teremos que

- T C D + T D = 0

T C D = T D

Passo 4

Agora que já temos os valores dos normais vamos substituir na nossa equação

T A B . L A B G   .   J +   T B C . L B C G   .   J + T C D . L C D G   .   J = 0

( T D - 120 )   . L A B G   .   J +   ( T D + 90 ) . L B C G   .   J + ( T D ) . L C D G   .   J = 0

Agora vamos isolar os valores de T D

T D . L A B G   .   J - 120   .   L A B G   .   J +   90 . L B C G   .   J + T D . L B C G   .   J + T D . L C D G   .   J = 0

T D . L A B G   .   J + T D . L B C G   .   J + T D . L C D G   .   J = 120   .   L A B G   .   J -   90 . L B C G   .   J

T D G   .   J ( L A B +   L B C + L C D ) = 120   .   L A B G   .   J -   90 . L B C G   .   J

Podemos cortar G   .   J , o que mostra que a nossa resposta em nada depende do tipo de seção que está sendo usada, logo a seção triangular em nada será usado aqui.

T D L = 120   .   L A B - 90 . L B C

Isolando teremos que

T D = 120   .   L A B - 90 . L B C L

Agora é só calcularmos o valor de T D

Passo 5

Sabemos que

L A B = 7 0 c m

L B C = 3 0 c m

L = 70 + 30 + 70 = 170   c m

Substituindo teremos que

T D = 120   .   L A B - 90 . L B C L

T D = 120   .   70 - 90.30 170

T D = 33,53   K N . m

Como já sabemos qual é a nossa primeira equação, basta substituir nela para descobrimos o valor de T A

T A + T D = 120

T A + 33,53     = 1 20

T A = 86,47   K N . m

Resposta

T D = 33,53   K N . m

T A = 86,47   K N . m

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