Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

Ver Teoria

Enunciado

A barra de madeira abaixo está sujeita aos esforços de torção mostrados na figura. Com base nos seus conhecimentos de Resistencia dos materiais determine o valor das reações das paredes nos pontos A e D.

u s e   G = 27 G P a

s e ç ã o   c í r c u l a r   d e   r a i o   30 c m

Passo 1

Como podemos ver, nesse tipo de questão precisamos determinar as reações de apoio. Para determinarmos essas reações de apoio precisamos saber se o nosso problema é isostático ou se é um problema estaticamente indeterminado. Como temos duas paredes no nosso problema, podemos desconfiar que talvez seja a segunda opção.

Para termos certeza que se trata de um problema estaticamente indeterminado, precisamos definir o diagrama de corpo livre e fazer o balanceamento entre o número de incógnitas e o número de equações, então vamos lá

Fazendo o somatório de torques teremos que

∑ T = 0

T A + T D - 300 - 120 = 0

T A + T D = 420

Como podemos ver temos duas incógnitas ( T A , T D ) e uma única equação ( T A + T D = 420 ), logo de fato se trata de um problema estaticamente indeterminado. Sabemos então, que para resolve-lo precisamos do que chamamos de equação de compatibilidade.

Passo 2

Temos que lembrar que a nossa equação de compatibilidade, nesse caso, será o nosso ângulo de torção, dado por

ϕ = T   . L G   .   J

Mas onde ela será usada?

Ai que entra a nossa relação de deformação angular, ou seja, a deformação angular da nossa barra deve ser igual a deformação angular total máxima que ela pode ter, que pode ser dada por

ϕ A D = ϕ t o t a l

O que precisamos saber primeiro: como as paredes são indeslocaveis a deformação angular total máxima possível para a nossa barra é zero, logo

ϕ t o t a l = 0

O que devemos saber por segundo é que a deformação angular do trecho AD é composto de três parcelas, uma do trecho AB, uma do trecho BC e por fim do trecho CD. Logo podemos escrever a nossa equação de compatibilidade como.

ϕ A B + ϕ B C + ϕ C D = 0

Colocando tudo em termos do que já temos e também usando a nossa fórmula de deformação total teremos que

T A B . L A B G   .   J +   T B C . L B C G   .   J + T C D . L C D G   .   J = 0

Sabemos que como a barra é homogênea, tanto o momento polar de inercia quanto o módulo de elasticidade transversal são iguais nos três trechos. Também sabemos facilmente determinar o valor de cada comprimento que é dado no desenho. Então o que falta é apenas determinar o valor dos torques em cada trecho.

Passo 3

Como só falta determinar o torque, basta apenas que cortemos as barras e façamos o equilíbrio da nossa peça.

Primeiro Torque do trecho AB

Fazendo o equilíbrio teremos que

T A B + T D - 300 - 120 = 0

T A B = 42 0 -   T D

Normal do trecho BC

Fazendo o equilíbrio teremos que

T B C + T D - 120 = 0

T B C = 120 - T D

Normal do trecho CD

Fazendo o equilíbrio teremos que

T C D + T D = 0

T C D = - T D

Passo 4

Agora que já temos os valores dos normais vamos substituir na nossa equação

T A B . L A B G   .   J +   T B C . L B C G   .   J + T C D . L C D G   .   J = 0

( 420 - T D )   . L A B G   .   J +   ( 120 - T D ) . L B C G   .   J + ( - T D ) . L C D G   .   J = 0

Agora vamos isolar os valores de T D

42 0 . L A B G   .   J - T D . L A B G   .   J +   12 0 . L B C G   .   J - T D . L B C G   .   J - T D . L C D G   .   J = 0

420 . L A B G   .   J + 120 . L B C G   .   J = T D . L A B G   .   J + T D . L B C G   .   J + T D . L C D G   .   J

420 . L A B G   .   J + 120 . L B C G   .   J = T D G   .   J ( L A B +   L B C + L C D )

Podemos cortar G   .   J

42 0 . L A B + 120 . L B C = T D L

Isolando teremos que

42 0 . L A B + 12 0 . L B C L = T D

Agora é só calcularmos o valor de T D

Passo 5

Sabemos que

L A B = 60 c m

L B C = 2 00 c m

L = 6 0 + 2 00 + 6 0 = 32 0   c m

Substituindo teremos que

420 . L A B + 120 . L B C L = T D

420   .   60 + 120   .   200 320 = T D

T D = 153,75   K N . m

Como já sabemos qual é a nossa primeira equação, basta substituir nela para descobrimos o valor de T A

T A + T D = 420

T A + 153,75   = 420

T A = 266,25   K N . m

Resposta

T D = 153,75   K N . m

T A = 266,25   K N . m

Exercícios de Livros Relacionados

A seção transversal cheia mostrada é feita de aço elastoplástico com T E = 145M P aeG = 77,2G P a . O torque é aumentado em intensidade até que o eixo tenha sido girado em 6°; em seguida, o torque é r
Um tacômetro F, utilizado para registrar em forma digital a rotação do eixo A, é conectado ao eixo por meio do trem de engrenagens mostrado, valendo-se de quatro engrenagens e três eixos de aço de seç
Uma placa anelar de espessura t e módulo de elasticidade transversal G é usada para conectar o Eixo AB de raio r 1 ao tubo CD de raio interno r 2 . Sabendo-se que o torque T é aplicado à extremidade A
Dois eixos de aço sólidos são ajustados com flanges que em seguida são conectadas por parafusos como mostrado. Os parafusos são ligeiramente subdimencionados de modo que permitam uma rotação relativa
O eixo é composto por uma seção maciça de aço A B e uma porção tubular feita de aço com núcleo de latão. Se o eixo estiver preso a um apoio rígido A e for aplicado um torque T =50N ⋅ m a ele em C , de