Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados
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A barra de madeira abaixo está sujeita aos esforços de torção mostrados na figura. Com base nos seus conhecimentos de Resistencia dos materiais determine o valor das reações das paredes nos pontos A e D.
Passo 1
Como podemos ver, nesse tipo de questão precisamos determinar as reações de apoio. Para determinarmos essas reações de apoio precisamos saber se o nosso problema é isostático ou se é um problema estaticamente indeterminado. Como temos duas paredes no nosso problema, podemos desconfiar que talvez seja a segunda opção.
Para termos certeza que se trata de um problema estaticamente indeterminado, precisamos definir o diagrama de corpo livre e fazer o balanceamento entre o número de incógnitas e o número de equações, então vamos lá
Fazendo o somatório de torques teremos que
Como podemos ver temos duas incógnitas ( e uma única equação (), logo de fato se trata de um problema estaticamente indeterminado. Sabemos então, que para resolve-lo precisamos do que chamamos de equação de compatibilidade.
Passo 2
Temos que lembrar que a nossa equação de compatibilidade, nesse caso, será o nosso ângulo de torção, dado por
Mas onde ela será usada?
Ai que entra a nossa relação de deformação angular, ou seja, a deformação angular da nossa barra deve ser igual a deformação angular total máxima que ela pode ter, que pode ser dada por
O que precisamos saber primeiro: como as paredes são indeslocaveis a deformação angular total máxima possível para a nossa barra é zero, logo
O que devemos saber por segundo é que a deformação angular do trecho AD é composto de três parcelas, uma do trecho AB, uma do trecho BC e por fim do trecho CD. Logo podemos escrever a nossa equação de compatibilidade como.
Colocando tudo em termos do que já temos e também usando a nossa fórmula de deformação total teremos que
Sabemos que como a barra é homogênea, tanto o momento polar de inercia quanto o módulo de elasticidade transversal são iguais nos três trechos. Também sabemos facilmente determinar o valor de cada comprimento que é dado no desenho. Então o que falta é apenas determinar o valor dos torques em cada trecho.
Passo 3
Como só falta determinar o torque, basta apenas que cortemos as barras e façamos o equilíbrio da nossa peça.
Primeiro Torque do trecho AB
Fazendo o equilíbrio teremos que
Normal do trecho BC
Fazendo o equilíbrio teremos que
Normal do trecho CD
Fazendo o equilíbrio teremos que
Passo 4
Agora que já temos os valores dos normais vamos substituir na nossa equação
Agora vamos isolar os valores de
Podemos cortar
Isolando teremos que
Agora é só calcularmos o valor de
Passo 5
Sabemos que
Substituindo teremos que
Como já sabemos qual é a nossa primeira equação, basta substituir nela para descobrimos o valor de