UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 2° Estágio - 2017.2, Questão 2
Determine a diferencial total e a melhor aproximação linear de , nas proximidades do ponto . Encontre também uma estimativa para o erro máximo que se obtém quando se aproxima a função por aproximação linear, na região .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função de três variáveis, , e um ponto , e pediu pra gente calcular a diferencial total dessa função, uma aproximação linear e estimar os erros máximos na aproximação.
A diferencial total é definida por:
onde e são as derivadas parciais da função em relação a , a e a , respectivamente. Já a aproximação linear, ou aproximação pelo plano tangente, consiste em definir um plano tangente que aproxima a função em um ponto onde suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas. Essa aproximação é definida por:
onde é o ponto de tangência, que nesse caso é .
Por fim, vamos estimar o erro máximo dessa aproximação usando considerando suas variações máximas: , e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a diferencial total da função:
Derivando parcialmente em relação a cada variável, temos:
E encontramos a nossa diferencial total.
Passo 3
Para encontrar nossa aproximação linear vamos usar a definição:
Usando o ponto , onde e , as derivadas parciais (calculadas no passo anterior) no ponto são:
Aplicando também a função no ponto:
Substituindo tudo na fórmula da linearização, obtemos:
Passo 4
Estimando o erro máximo que se obtém quando se aproxima a função por aproximação linear, na região que o enunciado nos deu, vamos usar os valores máximos , e e o valor das variáveis no ponto de tangência, , e .
Substituindo na nossa diferencial total:
Calculando, temos:
Que é o nosso erro máximo.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉