O Comitê organizador de um congresso científico contratou 5 hotéis da cidade onde vai se realizar esse evento para hospedarem os congressistas inscritos. Cada um desses hotéis só têm quartos individuais e só poderá hospedar os participantes do congresso durante esse período. Admita que cada congressista escolherá de forma aleatória para qual dos hotéis ele vai se dirigir. O Hotel é um desses 5 hotéis e tem capacidade para acomodar pessoas. (a) Qual a probabilidade de que o Hotel consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem?
Passo 1
O enunciado diz que os congressistas vão escolher de forma aleatória em qual hotel vão se hospedar entre os hotéis totais, então a probabilidade do Hotel ser escolhido por um congressista é de em , ou seja:
Vamos chamar essa aí da nossa probabilidade de sucesso, que ocorre quando um congressista se hospeda no Hotel .
Nós vamos ter congressistas que podem se hospedar ou não no Hotel , ou seja, estão sujeitos a um sucesso (se hospedar) e a um fracasso (não se hospedar). E qual distribuição que segue essa descrição? Várias repetições de experimento do tipo sucesso ou fracasso? É uma Binomial, certo?! E os parâmetros da nossa Binomial são justamente o que calculamos (a probabilidade de sucesso) e os congressistas (número de repetições).
Então denotando o número de congressistas que se dirigem ao Hotel por :
E o que a questão pede é a probabilidade do Hotel conseguir acomodar todos os congressistas que o procurarem, lembrando que eles podem acomodar um total de pessoas, ou seja:
Queremos que o número de congressistas que procurarem o hotel não ultrapasse a lotação máxima, para que assim todos sejam acomodados!
Passo 2
Mas calcular isso aí pela distribuição Binomial vai ser chatinho, hein! Vamos lembrar aqui então de que quando temos uma Binomial com mais de repetições, podemos aproximá-la por uma distribuição Normal, então:
Onde e são a esperança e variância da Binomial. Elas são dadas pelas seguintes fórmulas:
Então:
Passo 3
Agora antes de calcularmos a probabilidade, temos que lembrar que, como fizemos essa aproximação, devemos corrigir o erro de continuidade!
Então queremos calcular:
Padronizando, pois aproximamos pela Normal:
Procurando esse valor na tabela da Normal: