Todas as receitas de analgésico que chegam a um ambulatório médico prescrevem aspirina (com 60% de probabilidade) ou dipirona sódica (com 40% de probabilidade). Num determinado dia há em estoque 70 comprimidos de aspirina e 50 comprimidos de dipirona sódica. Se nesse dia são prescritas 100 receitas de analgésicos, calcule:

(a) A média e o desvio padrão do número de prescrições de aspirina. Indique a expressão matemática para o modelo probabilístico desta variável;

(b) A probabilidade aproximada de todas as 100 receitas serem atendidas.

Passo 1

a)

Vamos representar o número de prescrições de aspirina por X :

X : n º   d e   p r e s c r i ç õ e s   d e   a s p i r i n a

Podemos analisar o experimento da seguinte forma: toda vez que uma receita é inscrita, vamos ter a possibilidade de ser prescrita uma aspirina (sucesso), ou uma dipirona (fracasso), o que é um experimento de Bernoulli. Mas vamos ter 100 receitas, ou seja, esse experimento se repete 100 vezes.

Podemos então falar que X , o número total de aspirinas prescritas, ou seja, o número de sucessos ao final dessas 100 repetições de Bernoulli, vai seguir uma distribuição Binomial! Com probabilidade de sucesso p = 0,6 e repetições n = 100 :

X ~ B i n ( 0,6 ; 100 )

A esperança e a variância de uma Binomial são dadas por fórmulas, vamos calculá-las:

E X = n p = 100 0,6 = 60

V a r X = n p 1 - p = 100 0,6 1 - 0,6 = 24

Então o desvio padrão é:

D P X = 24 = 4,9

E a expressão da probabilidade da binomial é dada por:

P X = x = n x 0,6 x 1 - 0,6 100 - x

Passo 2

b)

Como n = 100 > 30 , nós estamos num caso perfeito de aproximação da binomial pela normal. Então agora vamos falar que:

X b i n o m i a l ≈ Y n o r m a l

E os parâmetros de Y são dados justamente pela esperança de variância de X que já calculamos:

Y ~ N o r m a l ( 60 ; 4,9 2 )

E a probabilidade que queremos é de todas as prescrições serem atendidas. Nós temos 50 comprimidos de dipirona, e 70 de aspirina. Então para as 100 receitas serem prescritas, temos duas possibilidades extremas: 50   f o r e m   d i p i r o n a   &   50   f o r a m   a s p i r i n a

30   f o r e m   d i p i r o n a   &   70   f o r e m   a s p i r i n a

Dentro do nosso estoque, essas são as combinações máximas que podemos fazer (usar todo o estoque de uma das medicações e completar o restante das receitas com a outra medicação).

E essas duas possibilidades limitam o nosso número de aspirinas prescritas, certo? Esse número vai ser sempre igual ou estar entre 50 e 70 . Então, a probabilidade de todas as prescrições serem atendidas é a mesma que:

P ( 50 ≤ X ≤ 70 )

Como X é uma v.a. discreta aproximado pela Normal, fazemos a correção do erro de continuidade para trabalhar com Y :

P 50 ≤ X ≤ 70 = P 50 - 0,5 ≤ Y ≤ 70 + 0,5 = P ( 49,5 ≤ Y ≤ 70,5 )

Padronizando os dois lados dessa probabilidade:

P 49,5 - 60 4,9 ≤ Z ≤ 70,5 - 60 4,9 = P - 2,14 ≤ Z ≤ 2,14 = P Z ≤ 2,14 - P ( Z ≤ - 2,14 )

Mas para nos livrarmos desse negativo, invertemos o sinal :

= P Z ≤ 2,14 - P Z > 2,14 = P Z ≤ 2,14 - ( 1 - P Z ≤ 2,14 )

= 0,9839 - 1 - 0,9838 - 0,9676

E essa aí é a probabilidade de todas as receitas serem prescritas!

Resposta

a)

E X = 60

D P X = 4,9

P X = x = n x 0,6 x 1 - 0,6 100 - x

b)

0,9676

Exercícios Resolvidos de Aproximando a Binominal pela Normal

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