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Todas as receitas de analgésico que chegam a um ambulatório médico prescrevem aspirina (com 60% de probabilidade) ou dipirona sódica (com 40% de probabilidade). Num determinado dia há em estoque 70 comprimidos de aspirina e 50 comprimidos de dipirona sódica. Se nesse dia são prescritas 100 receitas de analgésicos, calcule:
(a) A média e o desvio padrão do número de prescrições de aspirina. Indique a expressão matemática para o modelo probabilístico desta variável;
(b) A probabilidade aproximada de todas as 100 receitas serem atendidas.
Passo 1
a)
Vamos representar o número de prescrições de aspirina por :
Podemos analisar o experimento da seguinte forma: toda vez que uma receita é inscrita, vamos ter a possibilidade de ser prescrita uma aspirina (sucesso), ou uma dipirona (fracasso), o que é um experimento de Bernoulli. Mas vamos ter receitas, ou seja, esse experimento se repete 100 vezes.
Podemos então falar que , o número total de aspirinas prescritas, ou seja, o número de sucessos ao final dessas repetições de Bernoulli, vai seguir uma distribuição Binomial! Com probabilidade de sucesso e repetições :
A esperança e a variância de uma Binomial são dadas por fórmulas, vamos calculá-las:
Então o desvio padrão é:
E a expressão da probabilidade da binomial é dada por:
Passo 2
b)
Como , nós estamos num caso perfeito de aproximação da binomial pela normal. Então agora vamos falar que:
E os parâmetros de são dados justamente pela esperança de variância de que já calculamos:
E a probabilidade que queremos é de todas as prescrições serem atendidas. Nós temos comprimidos de dipirona, e de aspirina. Então para as 100 receitas serem prescritas, temos duas possibilidades extremas:
Dentro do nosso estoque, essas são as combinações máximas que podemos fazer (usar todo o estoque de uma das medicações e completar o restante das receitas com a outra medicação).
E essas duas possibilidades limitam o nosso número de aspirinas prescritas, certo? Esse número vai ser sempre igual ou estar entre e . Então, a probabilidade de todas as prescrições serem atendidas é a mesma que:
Como é uma v.a. discreta aproximado pela Normal, fazemos a correção do erro de continuidade para trabalhar com :
Padronizando os dois lados dessa probabilidade:
Mas para nos livrarmos desse negativo, invertemos o sinal :
E essa aí é a probabilidade de todas as receitas serem prescritas!
Resposta
a)
b)