Determine uma base e a dimensão do seguinte subespaço
Passo 1
Opa galerinha, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de bases 😊
Show, ele pede a base e a dimensão de um subespaço, lembrando que o subespaço é um subconjunto do espaço vetorial e se comporta da mesma forma que o espaço vetorial!
Belezinha, mas agora vamos falar sobre as bases, precisamos:
- Determinar uma base e dimensão de cada subespaço
- Verificar se o conjunto é ou
Passo 2
Vamos lá então!
Se pegarmos um vetor qualquer do :
E substituirmos o valor de que o exercício nos fala que é a característica do subespaço , temos que o nosso vetor é desse jeitinho aqui:
Vamos separar esse vetor em dois: o que tem e o que tem , se liga aqui
Se fizer essa soma dá o nosso vetorzinho de cima, show?
Agora o que a gente vai fazer é colocar e em evidência nesse vetor e ficamos assim:
Então, podemos concluir que
Ou seja, é gerado pelos vetores
Passo 3
Beleza pura! Achamos a base, agora vamos ver se ele é ou
Para vermos se os vetores da base são ou , precisamos que:
Como estamos em temos que o vetor nulo é , e os vetores da base são aqueles que a gente achou agora há pouco:
Fazendo a distributiva, temos que:
Somando os vetores temos que:
Show de bolinhas, vamos montar um sisteminha então para descobrir e
Show! Da primeira e segunda a gente tem que e . Vamos ver se isso se encaixa na terceira linha:
Como chegamos em uma relação que é verdade, , então, o único jeito de acontecer é se
E isso mostra para a gente que o conjunto é
Show, então é base de
Passo 4
Agora que já vimos que é uma base, vamos ver qual é a dimensão!
Lembrando que:
“A dimensão de é o número de vetores da base”
Como nossa base só tem dois vetores, a base é dois!
Resposta
é uma base de e a