USP – Álgebra Linear – P2 2019 – Questão 7
Seja uma base positiva de . Suponha que e que o vetor seja ortogonal a e a . Defina , e , e seja . Considere as seguintes afirmações:
I. é uma base ortogonal de
II. é uma base negativa de
III. Existe tal que
Está correto o que se afirma em
a) I, II e III
b) II e III, apenas
c) III, apenas
d) II, apenas
e) I, apenas
Passo 1
Faaala pessoal! Bora pra mais uma? 😊
Nós começamos o exercício com duas bases:
E também sabemos que . Além disso, é ortogonal a e a
Aí ele dá 3 afirmações e temos que ver quais são verdadeiras, fechou? Aqui vamos ver bastante sobre bases e produtos vetoriais.
Precisamos lembrar que:
- Em uma base ortogonal, todos os vetores são ortogonais entre si. O produto escalar um a um vale sempre .
- vai ser uma base positiva se tiver a mesma orientação de . Caso contrário, vai ser negativa.
- O produto vetorial entre 2 vetores sempre resulta em um vetor ortogonal a eles.
Então vamos lá analisar cada afirmação
Passo 2
A primeira afirmação diz que “ é uma base ortogonal de ”
Galera, temos que
Para que essa base seja ortogonal, precisamos que o produto escalar entre os 3 vetores um a um seja . Vamos verificar. Começando pelos 2 primeiros:
Como o produto escalar é comutativo, temos , então
Como , eles vão se cancelar. Portanto:
Showw, os 2 primeiros vetores são ortogonais. Agora para o primeiro e o terceiro:
Como é ortogonal a e a , esses produtos valem
E agora com o segundo e o terceiro:
Obaaa! Todos os produtos deram . Logo, os vetores são ortogonais um a um 😊 A afirmação está correta!
Passo 3
A segunda afirmação diz que “ é uma base negativa de ”
Temos que
Enquanto
Então, escrevendo na base , temos
(por exemplo representa que aparece na primeira e na segunda coordenada em )
Vamos colocar esses vetores nas linhas de uma matriz. Se o determinante for positivo, a base é positiva, ok?
Calculando o determinante:
Eita, o determinante deu negativo. Então a base é negativa mesmo! A afirmação está correta
Passo 4
Por fim, a afirmação 3 fala que “Existe tal que ”
Em outras palavras, ele ta dizendo que o vetor é ortogonal a e a . Lembrando que o produto vetorial é sempre ortogonal aos 2 vetores. E aí ele ta dizendo que o é paralelo a esse produto vetorial. Pra isso, ele precisa ser ortogonal a e
Galera, verificamos isso na primeira afirmação, lembra?
Vimos que a base
É ortogonal
Então e
Portanto, a afirmação é verdadeira 😊
Logo, a alternativa correta é a letra A
Resposta
a) I, II e III