- Encontre a série de Maclaurin de .
- Utilize L’Hôpital para mostrar que
- Utilize as séries de potência do item (a) para mostrar que
Passo 1
Ok, vamos começar com a letra (a). A série de Maclaurin nada mais é do que a série de Taylor centrada em . De forma geral, será:
Em que é a derivada de n-éssima ordem no ponto . Como a derivada de pode aumentar de complexidade rapidamente com a ordem, vamos fazer uma substituição esperta:
Consequentemente e vamos fazer a expansão em série de Maclaurin de:
Temos que, para :
Agora, para determinar essa série vamos derivar e tentar achar um padrão para as derivadas:
Assim, podemos concluir que:
Portanto, vamos ter:
Agora precisamos voltar para . Substituindo a relação, temos
Simplificando:
Passo 2
Agora vamos para a letra (b). Temos o limite:
Substituindo o valor dado:
Que é uma das indeterminações de L’Hôpital. Assim, podemos aplicá-lo. Para tal derivamos numerador e denominador:
Passo 3
Para fechar, chegamos na letra (c). Aqui o problema pede para mostrar o mesmo limite
Só que usando séries de potência. A ideia aqui é justamente substituir a exponencial pela expansão que encontramos. Temos que:
Assim, substituímos essa expressão no limite:
Para sumir com aquele solto ali, veja que podemos tirar o primeiro termo do somatório e adicionar ao índice:
Portanto, vamos ter:
Jogamos agora para dentro do somatório:
E então abrimos o somatório para ficar mais fácil de visualizar o que está acontecendo:
Agora temos um limite de um polinômio. Como não há mais nenhuma indeterminação, basta substituirmos o valor do limite:
E é isso 😊
Resposta
(a)
(b) Demonstrado na resolução.
(c) Demonstrado na resolução.