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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

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Exercício 5123467

Enunciado

Questão 10: Sejam f x = arctan ⁡ x e α ∈ R .

Podemos afirmar que:

  1. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x 7 = 1 / 5
  2. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x α = 0   p a r a   t o d o   α < 7
  3. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x 7 = 1 / 7  
  4. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x 5 = - 1 / 7
  5. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x α = ∞   p a r a   t o d o   α ≥ 7

Passo 1

Pow, o limite que a gente quer calcular está envolvendo potências de x . Então antes de calcular esse limite propriamente dito, o que devemos fazer? Verificar qual é a série de potências do arco-tangente!

arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Pois assim a gente pode retirar esse x - x 3 3 + x 5 5 da série de somas e passar pro lado do arco-tangente subtraindo. Vamos lá?

Passo 2

Bem, primeiro veja que a derivada do arco-tangente é tem uma cara muito mais interessante para se escrever em forma de série de potências, pois:

f x = arctan ⁡ x   →

f ' x = 1 1 + x 2

Essa expressão é interessante, pois podemos compara-la diretamente com a série geométrica:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Então se trocando esse x de cima aí por - x 2 ...

f ' x = 1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n =

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n  

Passo 3

Beleza, encontramos a série que representa a derivada de f x . Então qual será a série que representa f x ? Ora, como a integral de f ' é a f x ...

∫ f ' x d x = f x = arctan ⁡ x

Logo, podemos substituir no lugar da f ' na integral, colocar a sua representação em série, pois assim ganharemos a f , veja:

f x = ∫ f ' x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n d x =

Podemos colocar a integral pra dentro do somatório (e ainda como - 1 n é uma constante perto de x ele vaza da integral)...

∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ x 2 n d x =

Quem é a integral de x 2 n ?

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 + C

Prontinho! Logo, podemos afirmar que...

arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 + C

Só que quem é C ? É a constante de integração certo? Mas sabia que tem como de tirar ele daí?

Passo 4

Para fazer isso a gente tem que conhecer um ponto da série. E qual ponto a gente consegue identificar facilmente? SIM! O x = 0 , pois...

arctan ⁡ 0 = 0         →      

Então...

∑ n = 0 ∞ - 1 n 0 2 n + 1 2 n + 1 + C = 0       →

Como o valor dessa série 0 com certeza, pois 0 2 n + 1 é 0 e 0 que multiplica qualquer coisa é 0 ...

0 + C = 0

Logo o valor do arco-tangente em série é:

arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1  

Passo 5

Agora vamos eliminar os três primeiros termos dessa série pra termos aquelas potências de x dos limites em mãos:

arctan ⁡ x = - 1 0 x 0 + 1 0 + 1 + - 1 1 x 2 + 1 2 + 1 + - 1 2 x 4 + 1 4 + 1 + ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Perceba que a única coisa que fizemos foi desenrolar o somatório tirando dele o n = 0 , n = 1 e n = 2 . Agora simplificando esse termos aí, olha que interessante:

arctan ⁡ x = x + - x 3 3 + x 5 5 + ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1   →

∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 = arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5

O limite que queremos calcular tem esse cara aí no nominador! :

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x α

Eu sei. Os limites lá no enunciado envolvem vários tipos diferentes de expoentes no x do denominador. Aqui eu só coloquei o x α , pois é o mais genérico de todos e a gente vai ver quem é o α resolvendo o limite, saca?

Passo 6

Substituindo a série no lugar dessa expressão:

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x α =

lim x → 0 + ⁡ ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 x α =

Agora, passando esse x α pra dentro do somatório:

lim x → 0 + ⁡ ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 x α =

lim x → 0 + ⁡ ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 x α =

Pow, aí temos uma divisão de potência de mesma base x 2 n + 1 / x α . Logo, repete-se a base subtrai os expoentes:

lim x → 0 + ⁡ ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 - α 2 n + 1

Então... Quando x vai a 0 , essa série tem que ir à 0 , certo? MAIS OU MENOS certo. Porque a gente só pode afirmar que isso é verdade para valores de α que deixa o expoente de x positivo independente de n , ou seja:

2 n + 1 - α > 0     →

Como o primeiro n da série é o 3 , se...

    2 ⋅ 3 + 1 - α > 0

- α > - 7     →         α < 7

Então para qualquer outro n , nessas condições, a série converge para o 0 quando x vai a 0 + :

lim x → 0 + ⁡ ∑ n = 3 ∞ - 1 n x 2 n + 1 - α 2 n + 1 = 0

Resposta

Alternativa

b

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