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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

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Exercício 3124567

Enunciado

Questão 2: Dadas três funções

f x = e x ,     g x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ,             h x = ∑ n = 0 ∞ e x - 1 n n !

Considere as afirmações:

  1. Existe x ∈ R tal que f x ≠ h x .
  2. lim x → 0 ⁡ g x - 1 x = 1 .
  3. h ' 2 = e 2 .

Podemos afirmar que:

  1. Todas as afirmações são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações (1), (2) são verdadeiras.
  3. Apenas a afirmação (3) é verdadeira.
  4. Apenas as afirmações (1) e (3) são verdadeiras.
  5. Apenas as afirmações (2) e (3) são verdadeiras.

Passo 1

Vamos verificar cada uma dessas sentenças e dizer qual é alternativa correta, ok? Mas antes de começarmos, temos que se lembrar de uma coisinha:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Sempre! Ou seja, para qualquer x isso é verdade!

Então, baseado nisso, se substituirmos x por x - 1 :

e x - 1 = ∑ n = 0 ∞ x - 1 n n !       →

Como e x - 1 = e x / e ...

e x e = ∑ n = 0 ∞ x - 1 n n !       →

e x = e ∑ n = 0 ∞ x - 1 n n !       →

Como e é um número (uma constante) ele pode entrar na série:

e x = ∑ n = 0 ∞ e x - 1 n n !       →

O que isso significa então? Que as três funções ali em cima f , g e h são iguais e para qualquer x :

f x = g x = h x

Passo 2

Com esse passo 1 aí, a gente sabe que

f x = h x

E para qualquer x que quiser. Logo a primeira alternativa é falsa!

Passo 3

Bem, como g x = f x = e x ...

lim x → 0 ⁡ g x - 1 x = lim x → 0 ⁡ e x - 1 x =

Calculando então esse limite aplicando L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ e x 1 = 1

Então essa segunda alternativa é verdadeira!

Passo 4

Novamente, utilizando o fato de que h x = f x = e x ...

h x = e x

Podemos calcular a derivada facilmente:

h ' x = e x   →

Logo...

h ' 2 = e 2

Alternativa também verdadeira!

Resposta

Alternativa:

e

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