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Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

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Exercício 712345689

Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integrais de Superfície, Questão 3b

3. Calcule ∬ S   f x ,   y ,   z d S , sendo:

b. f x , y , z = x y , r u , v = u - v , v + v , 2 u + v + 1 , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ u

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que calcular a integral ∬ S   f x ,   y ,   z d S onde f é dada por f x , y , z = x y e S é dada pela superfície parametrizada por r u , v = u - v , v + v , 2 u + v + 1 , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ u .

E aí, como podemos fazer isso? 🤔

Não podemos dizer simplesmente que x y = u - v v + u , substituir na integral e seguir a vida normalmente...

Estamos fazendo uma mudança de variáveis, então ao fazer essa mudança em uma integral, temos que calcular um fator de correção que chamamos de jacobiano.

Assim, podemos dizer que x = u multiplicado por um jacobiano J .

Bora ver como obtermos esse fator? 😊

Passo 2

A matriz jacobiana é dada no nosso caso, como estamos fazendo uma transformação de x , y , z → u , v

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ z

Comparando f com r , vemos que x = u - v , y = v + u e z = 2 u + v + 1 .

Calculando esse jacobiano, temos

J = ∂ u - v ∂ u ∂ u - v ∂ v ∂ u - v ∂ 2 u + v + 1 ∂ v + u ∂ u ∂ v + u ∂ v ∂ v + u ∂ 2 u + v + 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ u ∂ 2 u + v + 1 ∂ v ∂ z ∂ z

Podemos dizer que ∂ u - v ∂ 2 u + v + 1 = ∂ u ∂ 2 u + v + 1 - ∂ v ∂ 2 u + v + 1 = 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ u - 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ v , ou seja

∂ u - v ∂ 2 u + v + 1 = 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ u - 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ v = 1 2 - 1 = - 1 2

∂ v + u ∂ 2 u + v + 1 = 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ v + 1 ∂ 2 u + v + 1 ∂ u = 1 + 1 2 = 3 2

Substituindo em J e derivando os outros termos

J = 1 - 1 - 1 2 1 1 3 2 2 1 1 = 1 - 3 2 · 2 - 1 2 - - 1 2 · 2 - 1 + 3 2

J = 1 - 3 - 1 2 - - 1 - 1 + 3 2

J = - 2

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora sim, substituindo f na integral e multiplicando pelo jacobiano J , temos que

∬ S   f x ,   y ,   z d S = ∬ S   x · J d S = ∬ S 2 u - v v + u d S

Foi dito que S está definida na região de 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ u .

Assim, os limites de integração vão ser

∫ 0 1 ∫ 0 u 2 u 2 - 2 v 2 d v d u

Integrando com relação a v

∫ 0 1 ∫ 0 u 2 u 2 - 2 v 2 d v d u = ∫ 0 1 2 u 2 v - 2 v 3 3 0 u d u = ∫ 0 1 2 u 3 - 2 u 3 3 d u

∫ 0 1 ∫ 0 u 2 u 2 - 2 v 2 d v d u = ∫ 0 1 4 u 3 3 d u

Agora com relação a u

∫ 0 1 4 u 3 3 d u = 4 u 4 4 · 3 0 1 = 4 12

∬ S   f x ,   y ,   z d S   = 1 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∬ S   f x ,   y ,   z d S   = 1 3

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